Решение игры

Приписав первой строке вероятность , а второй строке – вероятность , получим n линейных зависимостей. Изобразим их графики.

Возьмем нижнюю огибающую, т.е. такую ломаную из отрезков построенных прямых, что вся картинка лежит выше этой ломаной. Точка с наибольшей координатой дает нам (первая координата) и цену игры (вторая координата).

Пусть это точка пересечения i-й и j-й прямых. Тогда припишем i-му столбцу вероятность , а j-му столбцу – вероятность . Всем остальным столбцам припишем нулевые вероятности. Находим и .

Пример 1.6. Найдем решение матричной игры:

.

Первый столбец доминирует над третьим столбцом. Поэтому отбросим третий столбец. Вероятность . Получим матрицу .

Припишем строка вероятности и соответственно.

.

Получим линейные зависимости ; ; .

Изобразим их графики. .

Рис. 1.2 – Графики функций линейных зависимостей , , и нижней огибающей ломаной прямой

Возьмем нижнюю огибающую. Это ломаная ABC. Точка B – это точка пересечения прямых (1) и (3). Поэтому припишем первому столбцу вероятность , а третьему столбцу – вероятность . Всем остальным столбцам припишем нулевые вероятности. Найдем координаты точки B.

, (вероятность применения игроком А своей первой стратегии),

(вероятность применения игроком А своей второй стратегии).

Все цифры игрок А делит на полноценные «пятерки». Первые две цифры относятся к первой стратегии, а три последние – ко второй стратегии: первая стратегия (1,2,6,7) и вторая стратегия (3,4,5,8,9,0). Перед своим очередным ходом игрок А смотрит в таблицу случайных чисел. Если «выпадает» 1,2,6,7, то он играет первую стратегию; если «выпадает» 3,4,5,8,9,0, то он играет вторую стратеги. Цена игры .

Примечание. Математическая функция СЛЧИС мастера формул пакета Excel возвращает случайное число; математические СЛЧИС ОК. У этой функции не оргументов. ОК. После этого в ячейке появится десятичная дробь из интервала (0,1). Исследователь берет нужное число знаков после запятой. После нажатия клавиши F9 десятичная дробь в ячейке изменится.

Найдем ненулевые вероятности выбора стратегий игроком B.

Используем матрицу

0

.

Имеем , т.е. , .

Для игрока А ; для игрока B .

Задача: Найти решение матричной игры Ответ: v=4/11,

Пример 1.7. Рассмотрим игру с платежной матрицей

Требуется найти оптимальные смешанные стратегии игроков.

Решение. Проверим, имеет ли данная игра седловую точку в чистых стратегиях.

Нижняя цена игры

Верхняя цена игры

т. е. , значит, седловой точки в чистых стратегиях в игре нет.

Пусть первый игрок играет со смешанной стратегией . Обозначим ожидаемый выигрыш первого игрока, если второй игрок при этом выберет свою j-ю стратегию.

В рассматриваемом примере

,

,

,

.

Графики этих функций построены на рис.1.3.

Второй игрок так выбирает свои стратегии, чтобы обеспечить первому минимальный выигрыш: . Эта функция отмечена на рис. 1.3 жирной линией.

При , где определяется из условия второй игрок будет выбирать свою вторую стратегию, и первый игрок будет выигрывать

При , второй игрок будет выбирать первую стратегию, и первый игрок будет выигрывать .

Наилучший для первого игрока выбор при этом соответствует .

Рис. 1.3. Гарантированный выигрыш первого игрока в примере 1.4 при различном выборе смешанной стратегии

Таким образом, оптимальной смешанной стратегией первого игрока является стратегия при этом цена игры равна . Величина получается путем подстановки величины в уравнения , ,

Второй игрок, действуя разумно, никогда не будет выбирать третью и четвертую стратегии, увеличивающие выигрыш первого игрока, поэтому вектор оптимальной смешанной стратегии второго игрока имеет вид .

Тогда проигрыш второго игрока равен:

, если первый игрок выбирает свою первую стратегию,

, если первый игрок выбирает свою вторую стратегию.

Значение определяется из условия , оно равно .

Следовательно, оптимальная смешанная стратегия второго игрока равна . Если подставить в уравнения , , получим цену игры .