Контрольные вопросы и задания
1. Как на практике организовать реализацию смешанных стратегий?
2. Каждый из двух игроков (первый и второй) могут показать «камень» (кулак), «ножницы» (указательный и средний пальцы) или «бумагу» (ладонь). Камень тупит ножницы (и поэтому камень выигрывает у ножниц 1 руб.), ножницы режут бумагу (и поэтому ножницы выигрывают у бумаги 1 руб.), а бумага заворачивает камень (и поэтому бумага выигрывает у камня 1 руб.). Все остальные случаи приводят к ничьей. Каковы оптимальные стратегии игроков?
3. Для матричных игр, заданных своими платежными матрицами, найдите нижнюю и верхнюю цену, и сравните выигрыш первого игрока при оптимальной стратегии и при максиминной стратегии:
а)
;
б)
;
в)
.
4. Докажите, что если первый игрок будет играть в соответствии со своей оптимальной смешанной стратегией, а второй игрок выберет свою j-ю чистую стратегию (при условии, что j-я компонента вектора оптимальной смешанной стратегии второго игрока строго больше нуля), то математическое ожидание выигрыша первого игрока будет равным цене игры.
5. Производитель премиальных кондитерских изделий ежедневно изготавливает и продает от одного до трех эксклюзивных тортов. Срок годности торта ограничен: если торт не продан за один день, его приходится утилизировать (стоимость утилизации — 500 руб.). Если спрос на торты превышает их фактически произведенное количество, недостающие торты обязательно нужно произвести, но это придется делать в сверхурочное время. При нормальном производственном цикле себестоимость одного торта составляет 5000 руб., при сверхурочной работе — 7000 руб. Все торты реализуются по цене в 10 000 руб. Вероятности того, что дневной спрос составит 1, 2 и 3 торта, равны соответственно 0,4, 0,5 и 0,1. Составьте матрицу последствий и матрицу сожалений, определите решения по критериям Вальда, Сэвиджа, максимального ожидаемого дохода и минимальных ожидаемых сожалений.
6. Две фирмы продают конкурирующие товары. Каждая из фирм должна решить, имеет ли смысл устраивать рекламную компанию. Если обе фирмы решат рекламировать свои товары, то первая фирма получит чистую прибыль в размере 10 млн. руб., а вторая фирма — в размере 6 млн. руб. Если первая фирма будет рекламировать свой товар, а вторая не будет, то первая фирма получит прибыль 15 млн. руб., а прибыль второй фирмы окажется равной нулю. Если первая фирма не будет проводить рекламную компанию, а вторая - будет, то прибыль первой фирмы будет равна 5 млн. руб., а прибыль второй фирмы — 8 млн. руб. Если же обе фирмы откажутся от проведения рекламной компании, то первая фирма получит прибыль 10 млн. руб., а вторая — 2 млн. руб. Каковы оптимальные стратегии фирм?
7. Два производителя продают на рынке один товар. Каждый из них может назначить цену товара: 400 руб. или 600 руб. Если оба производителя назначили цену 400 руб., то каждый из них получает чистую прибыль 12 млн. руб. Если оба производителя назначили цену 600 руб., то каждый из них получает чистую прибыль 16 млн. руб. Если же один назначил цену 400 руб., а другой 600 руб., то тот производитель, который назначил меньшую цену, получает прибыль 20 млн. руб., а его конкурент получает прибыль 4 млн. руб. Как должны выбирать свои стратегии игроки в зависимости от того, разрешаются или запрещаются соглашения между ними?
8. Покупатель (второй игрок) приходит на рынок за яблоками. Продавец (первый игрок) использует пружинные весы и имеет две стратегии: честно взвесить 1 кг яблок или подкрутить пружину и обвесить покупателя на 200 г. У покупателя также две стратегии: поверить продавцу или взвесить покупку на контрольных весах и в случае обмана потребовать возмещения ущерба. Предложите свой вариант матриц выигрышей и определите наиболее рациональное поведение игроков. Рассмотрите как ситуацию, в которой покупатель не способен заметить, обвешивает ли его продавец, так и ситуацию, в которой покупатель видит, честно ли ведет себя продавец.
9. В настоящее время некоторый товар на рынке продается единственным монополистом (первым игроком) по цене 100 руб. Емкость рынка составляет 1 млн. единиц товара. На этот рынок с аналогичным товаром хочет войти другая фирма (второй игрок). Для входа в отрасль вторая фирма должна произвести инвестиции в строительство завода в размере 40 млн. руб. Если вторая фирма не будет входить на рынок, то первая фирма может продолжать продавать товар по 100 руб., и тогда ее выручка составит 100 млн. руб. (а прибыль второй фирмы будет нулевой). Если же вторая фирма войдет на рынок, и при этом цена товара останется на прежнем уровне (100 руб.), то каждая из двух фирм получит по 50 млн. руб. выручки, но выигрыш второй фирмы составит 10 млн. руб. (из выручки мы вычли инвестиции в строительство завода). Первая фирма может (для защиты от входа на рынок) понизить цену до 60 руб. Если в этом случае конкурент все-таки выйдет на рынок, то выручка каждой из фирм будет равна 30 млн. руб., при этом вторая фирма проиграет 10 млн. руб. (с учетом инвестиций в строительство завода). Если же первая фирма установит низкую цену (60 руб.), а вторая фирма не войдет на рынок, то прибыль первой фирмы будет равна 60 млн. руб. Каковы оптимальные стратегии фирм?
10. Две фирмы выпустили ко Дню 8 марта новые конфеты. Каждая из двух фирм позиционирует свои конфеты как самый лучший подарок к женскому празднику, при этом фирмы имеют возможность рекламировать свои товары в дневных или в вечерних телепередачах. Если обе фирмы будут рекламировать свой товар как самый лучший одновременно — в дневной (или вечерней) телепередаче, то покупатели усмотрят в этом противоречие и не станут покупать ни один, ни другой сорт конфет (выигрыши обеих фирм при этом будут равны нулю, как и в том случае, когда фирмы вовсе не будут рекламировать свои товары). Если одна фирма выступит с рекламным объявлением днем (вечером), а другая фирма в это время выступать не будет, то первая фирма привлечет столько покупателей, что ее выигрыш можно будет оценить единицей (соответственно двумя единицами). Каковы оптимальные стратегии игроков?
11. Докажите, что бесшумная дуэль не имеет седловой точки в чистых стратегиях.
12. Хорошенькая девушка Маша может прийти на дискотеку (которая продолжается четыре часа) в момент времени t [0,4]. Каждый из двух ее воздыхателей — Коля и Миша — приходит на дискотеку только один раз в этот вечер. Если в момент прихода одного из игроков Маша находится на дискотеке одна, то она весь вечер танцует с этим игроком (и этот игрок выигрывает у своего противника единицу). Если же в момент прихода кого-либо из воздыхателей Маши на дискотеке нет, или она уже танцует с «конкурентом», поклонник уходит и больше в этот вечер на дискотеку не возвращается. Если ни один из игроков не танцевал с Машей, то выигрыш каждого из них равен нулю. Каковы оптимальные стратегии игроков?
13. Правила игры таковы. Имеется круглый стол и бесконечно много одинаковых круглых монет. Первый и второй игроки по очереди кладут на стол по одной монете (монета должна целиком лежать на столе и не накладываться на другие монеты). Выигрывает тот, кто положит на стол последнюю монету. Каковы оптимальные стратегии игроков?
14. На аукцион выставляется 1000 руб. Два участника игры по очереди называют сумму, которую они готовы отдать за получение 1000 руб. в обмен на предложенную цену. Предложивший наибольшую заявку получает 1000 руб. в обмен на предложенную цену, а сделавший вторую по величине заявку должен отдать предложенную им сумму и не получить взамен ничего. Каковы оптимальные стратегии игроков?
15. Ведущий телешоу предлагает участнику показать на одну из трех закрытых дверей, за которыми находятся «Мерседес» и два козла. После этого ведущий открывает одну из невыбранных дверей, за которой находится козел, и вторично предлагает участнику открыть одну из оставшихся дверей. Если за этой дверью окажется «Мерседес», то он достается участнику в качестве приза, а если за дверью стоит козел, то участник ничего не получает. Каковы оптимальные стратегии ведущего и участника телешоу?
16. Игра продолжается N периодов. Первый игрок (нарушитель) хочет совершить в одном и этих периодов некоторое запрещенное действие, а второй игрок (инспектор), который желает это действие предотвратить, может провести в одном из N периодов проверку нарушителя. Выигрыш нарушителя в каждом периоде равен 1, если он провел запрещенное действие, а инспектор в этом периоде проверку не проводил, выигрыш равен -1, если инспектор поймал нарушителя, выигрыш равен нулю, если нарушитель не действует вовсе. Каковы оптимальные стратегии игроков?
17. Убедитесь в том, что в игре «Работодатель — работник» (Работник имеет возможность установить интенсивность своей работы от 100% (полезность этой ситуации для работника оценивается нулем, а для работодателя прибылью 1 млн. руб.) до 0% (в этом случае работник будет голодать, и полезность этой ситуации для работника оценивается в ‑500 000 руб., а работодатель получит нулевую прибыль). Работодатель может поделиться с работником частью прибыли (если захочет). Минимаксные выигрыши игроков равны нулю, а решение Нэша состоит в том, что работодатель и работник делят прибыль поровну — по 500 тыс. руб.), решение Нэша соответствует точке, в которой работодатель и работник делят прибыль поровну — по 500 тыс. руб.