1.2 Комбінаторика

В дискретній математиці часто зустрічаються задачі, де потрібно порахувати число всіх можливих способів розміщення деяких предметів кінцевої множини або число всіх можливих способів виконання деякої події із кінцевої множини таких подій. Задачі такого типу називаються комбінаторними, а методи їх вирішення – методами комбінаторного аналізу. Оскільки комбінаторика має справу з кінцевими множинами, то її часто називають теорією кінцевих множин.

З задачами, в яких приходилось обирати ті чи інші предмети, розставляти їх в певному порядку та шукати серед різних розташувань найкращі, люди зустрілися ще в доісторичну епоху, обираючи найкращі положення мисливців під час полювання, воїнів – під час битви, інструментів під час праці. По мірі ускладнення вироблених та спільних відносин все більше приходилося користуватися спільними поняттями про порядок, ієрархії, групуванню.

Одним з перших зайнявся підрахунком числа різних комбінацій при грі в «Кості» італійський математик Тарталья. Він склав таблицю, яка показувала, скількома способами можуть впасти р кубиків. Однак при цьому не враховувалось, що одна і та ж сума очок може бути отримана різними способами.

Пізніше з’явилися різні ігри (нарди, карти, шашки, шахи і т.д.). В кожній з цих ігор доводилось розглядати різні поєднання фігур, і вигравав той, хто їх краще вивчив, знав виграшні комбінації та умів уникати програшних. Не тільки азартні ігри давали їжу для комбінаторних міркувань математиків. Ще с давніх часів дипломати, намагаючись таємно спілкуватись, винайшли складні шифри, а секретні служби інших держав намагались ці шифри розгадати. Стали використовувати шифри, основані на комбінаторних принципах, наприклад, на різних перестановках букв з використанням ключових слів і т.д.

Задачі, в яких йдеться про ті чи інші комбінації об’єктів, називаються комбінаторними. Область математики, в якій вивчаються комбінаторні задачі, називаються комбінаторикою. Комбінаторику можна розглядати як частину теорії множин – будь-яку комбінаторну задачу можна звести до задачі про кінцеві множини і їх відображеннях.

Комбінаторика як наука стала розвиватися в VIII ст. одночасно з виникненням теорії ймовірностей, так як для вирішення ймовірностних задач, необхідно було підрахувати кількість різних комбінацій елементів. Перші наукові дослідження по комбінаториці провів італійський вчений Дж. Кардано, Н. Тартальє (близько 1499-1557), Г. Галілей (1564-1642) та французький вчений В. Паскаль (1623-1662). Комбінаторику, як самостійний розділ математики, першим став розглядати німецький вчений Г. Лейбніц в своїй роботі «Про мистецтво комбінаторики», опублікований в 1666 році. Він також вперше ввів термін «Комбінаторика».

У 1896 році американський математик Еліаким Гастінгс Мур (1862-1932) ввів термін «тактична конфігурація» в статті «Tacticalmemoranda», розуміючи під цим терміном систему n множин, які мають, відповідно, а1, а2, … , an елементів. До тактичних конфігурацій Мур відносить поєднання, розміщення, системи рішень задачі Кіркмана про 15 учнів, підгрупи деяких груп. Він демонструє широкий спектр задач по геометрії, теорії груп, які приводять до тактичних положень або використовують тактичні положення.

Термін «тактика» ввів в математику англійський математик Джеймс Джозеф Сильвестр (1814-1897) в 1861 році. Сильвестр визначає тактику як розділ математики, вивчаючий положення елементів один відносно одного. В цій сфері цього розділу, знаходиться, на думку Сильвестра, теорія груп, комбінаторний аналіз та теорія чисел.

В сучасному суспільстві з розвитком обчислювальної техніки комбінаторика «добилася» нових успіхів. Так, за допомогою ЕОМ була розв’язана комбінаторна задача, відома під назвою «проблема чотирьох кольорів»: вдалося доказати, що будь-яку мапу можна розмалювати чотирма кольорами так, щоб ніякі дві країни, які мають спільну границю, не були пофарбовані в один і той же колір[2].

Комбінаторика, пройшовши багатовіковий шлях розвитку, знайшовши власні методи дослідження, з одного боку, широко використовується при рішенні задач алгебри, геометрії, аналізу, з іншого боку, сама використовує геометричні, аналітичні та алгебраїчні методи дослідження. В кінці XVIII ст. вчені, які відносяться до школи комбінаторики Гинденбурга, спробували побудувати спільну комбінаторну теорію, використовуючи нескінченні ряди. Дослідники цієї школи вивчили велику кількість перетворень рядів: множення, ділення, піднесення до степеня, виведення коренів, перетворення рядів, розкладання трансцендентних функцій[3].

В наш час комбінаторика має велике значення в різних сферах. Із комбінаторними величинами мають справу представники різних спеціальностей: вченому – хіміку, біологу, конструктору, диспетчеру, і т.д. Підсилення інтересу до комбінаторики в останній час пояснюється бурхливим розвитком кібернетик та обчислювальної техніки[4].

Таким чином, комбінаторика – це розділ дискретної математики, орієнтований на вирішення задач вибору та положенням елементів деякої множини у відповідності із заданими правилами та обмеженнями. Кожне таке правило вирішує спосіб побудови деякої комбінаторної конфігурації, тому комбінаторний аналіз (комбінаторика) займається вивченням властивостей комбінаторних конфігурацій, умовами їх існування, алгоритмами побудови та оптимізацією цих алгоритмів[5].