Классы нечетких отношений

Аннотация: В лекции приводится классификация нечетких отношений, рассматриваются классы нечетких отношений сходства и различия, а также класс нечетких порядков. В качестве примеров применения теории нечетких отношений рассматриваются задачи нечеткой классификации и нечеткого упорядочения.

Все типы нечетких отношений в зависимости от свойств, которыми они обладают, могут быть разделены на три больших класса.

В первый класс входят симметричные отношения, которые обычно характеризуют сходство или различие между объектами множества  .

Второй класс образуют антисимметричные отношения; они задают на множестве   отношения упорядоченности, доминирования, подчиненности и т.п.

Третий класс состоит из всех остальных отношений.

Отношения каждого класса, в свою очередь, могут быть разделены на подклассы в зависимости от выполнения условий рефлексивности и антирефлексивности.

Рефлексивные и симметричные отношения обычно называют отношениями сходства, толерантности, безразличия или неразличимости. В дальнейшем эти отношения будем называть отношениями сходства и обозначать буквой  .

Антирефлексивные и симметричные отношения называются отношениями различия и обозначаются буквой  .

Отношения сходства и отношения различия двойственны друг другу.

Антисимметричные отношения, называемые предпорядками и обозначаемые буквой  , в зависимости от выполнения условия рефлексивности или антирефлексивности делятся на нестрогие и строгие порядки.

Из отношений третьего класса, обозначаемых буквой  , обычно выделяют лишь рефлексивные отношения, которые будут называться слабыми порядками.

На следующем уровне классификации из каждого класса отношений могут быть выделены отношения специального вида. Определяющим условием для них является условие транзитивности. Оно устанавливает связь между силой отношения для различных пар объектов из  .

Эта связь может быть очень слабой, а может накладывать достаточно сильные ограничения на возможные значения силы отношения между объектами из  . Число отличающихся друг от друга условий транзитивности зависит от типа отношения, для которого они формулируются.

Условия транзитивности зависят от вида операций, с помощью которых они определяются. Наиболее общими условиями транзитивности являются условия, определяемые с помощью решеточных операций   и   в  . Более частыми являются условия, определяемые с помощью дополнительных операций в   и зависящих от конкретного вида  . В этих случаях указывается вид соответствующего множества  . Далее мы будем рассматривать нечеткие отношения, определенные на множестве  .

Отношения сходства и различия

Симметричное и рефлексивное нечеткое отношение сходства является аналогом обычного отношения толерантности. Нечеткиеотношения сходства обычно задаются с помощью матриц сходства, связи между объектами, либо с помощью неориентированныхвзвешенных графов. Матрицы сходства могут быть получены как в результате измерения некоторого физического параметра, так и в результате опроса экспертов, которые для каждой пары объектов из   указывают их степень сходства в некоторой шкале сравнений.

Условие транзитивности для нечетких отношений сходства обычно формулируются в виде

которое при различных определениях операции композиции приводит к различным условиям транзитивности. Наиболее распространенными условиями транзитивности являются следующие:

(   )-транзитивность

(   )-транзитивность

(   )-транзитивность

Наиболее интересными свойствами обладает (   )-транзитивное отношение сходства  , которое является обобщением обычного отношения эквивалентности. Это отношение называется нечетким отношением эквивалентности или отношением подобия. Нетрудно показать, что любой   -уровень нечеткого отношения эквивалентности является обычным отношением эквивалентности и, следовательно, определяет разбиение множества объектов   на непересекающиеся классы эквивалентности. Из вложенности   -уровней нечеткого отношения следует и вложенность разбиений множества  , соответствующих различным   -уровням, причем с уменьшением   происходит укрупнение классов эквивалентности   -уровней. Таким образом, нечеткое отношение эквивалентности задает иерархическую совокупность разбиений множества   на непересекающиеся классы эквивалентности.

Нечеткое отношение эквивалентности, в отличие от произвольного отношения сходства, определяет совокупность разбиений множества   на классы эквивалентности, благодаря тому, что условие транзитивности накладывает дополнительно сильные ограничения на возможные значения степени принадлежности.

В случае, когда  , отношение сходства  транзитивно тогда и только тогда, если для любых   из трех чисел  , по крайней мере, два числа равны друг другу и по величине не превышают третье. Таким образом, нечеткое отношениеэквивалентности обладает многими полезными свойствами из-за своего довольно специфического вида.

отношением различия   называется симметричное и антирефлексивное нечеткое отношение. Отношение различиядвойственно отношению сходства. В случае, когда  , эти отношения могут быть получены друг из друга с помощью соотношения:

что можно записать в алгебраической форме как  .

Ультраметрикой называется отношение различия, удовлетворяющее следующему неравенству:

Очевидно, что это условие двойственно условию (   )-транзитивности. Понятие ультраметрики первоначально возникло и изучалось в кластерном анализе при исследовании свойств меры различия между объектами, определяющих естественноепредставление множества объектов в виде дерева разбиений. Представление ультраметрики с помощью системы вложенных друг в друга отношений эквивалентности было также известно в кластерном анализе, однако лишь в рамках теории нечетких отношенийэто представление получило естественное объяснение.

Метрикой называется отношение различия, удовлетворяющее неравенству треугольника:

От метрики обычно требуют выполнения условия сильной антирефлексивности. Метрика, удовлетворяющая лишь простому условию антирефлексивности, называется псевдометрикой. Двойственным по отношению к метрике является (   )-транзитивное отношение сходства.

Двойственным условию (   )-транзитивности является следующее условие: