Операции над нечеткими отношениями

Объединение и пересечение нечетких отношений определяется следующим образом:

Отношение включения   для нечетких отношений определяется с помощью отношения частичного порядка на  :

Множество   всех нечетких отношений между   и   образует дистрибутивную решетку по отношению к операциям объединения и пересечения и удовлетворяет следующим тождествам:

1. Идемпотентность:

2. Коммутативность:

3. Ассоциативность:

4. Дистрибутивность:

Выполнение этих тождеств для   следует из выполнения соответствующих тождеств для решетки  . В   выполняется также следующее соотношение:

Из полноты решетки   следует, что она обладает наименьшим 0 и наибольшим I элементами. Эти элементы определяют, соответственно, пустое и универсальное нечеткие отношения:

Следующее соотношение определяет композицию   нечетких отношений   и  :

Здесь   обозначает наименьшую верхнюю грань множества элементов  , где   пробегает все значения из  . В силу полноты   эта операция всегда определена.

Существуют и другие варианты операции композиции, которые определяются с помощью дополнительных операций, выводимых в  . В зависимости от того, является ли   множеством векторов, множеством лингвистических переменных или множеством чисел, эти дополнительные операции будут иметь соответствующий вид. Например, если   является множеством действительных чисел, то операция   может быть заменена на операцию взятия среднего арифметического, что дает другоеопределение операции композиции:

В случае   мы имеем

Замена операции   на операцию умножения дает следующее определение композиции: 

Нечеткое отношение   такое, что

играет по отношению к операции композиции роль единицы:  . В теории четких отношенийотношение Е называется отношением равенства.

Для любого нечеткого отношения   определяется также обратное отношение  :

Свойства нечетких отношений

Различные типы нечетких отношений определяются с помощью свойств, аналогичных свойствам обычных отношений, причем для нечетких отношений можно указать различные способы обобщения этих свойств.

1. Рефлексивность:

2. Слабая рефлексивность:

3. Сильная рефлексивность:

4. Антирефлексивность:

5. Слабая антирефлексивность:

6. Сильная антирефлексивность:

7. Симметричность:

8. Антисимметричность:

9. Асимметричность:

10. Сильная линейность:

11. Слабая линейность:

12. Транзитивность:

Декомпозиция нечетких отношений

Одно из важнейших свойств нечетких отношений заключается в том, что они могут быть представлены в виде совокупности обычных отношений, причем могут быть упорядочены по включению, представляя собой иерархическую совокупность отношений. Разложение нечеткого отношения на совокупность обыкновенных отношений основано на понятии   -уровня нечеткого отношения. Здесь для простоты будем полагать, что   линейно упорядочено.

 -уровнем нечеткого отношения   называется обычное отношение  , определяемое для всех   следующим образом:

Очевидно, что   -уровни нечетких отношений удовлетворяют соотношению:

представляя собой совокупность вложенных друг в друга отношений.

Теорема. Нечеткое отношение   обладает каким-либо свойством из перечисленных (кроме сильной рефлексивности, сильнойантирефлексивности, слабой линейности) тогда и только тогда, если этим свойством обладают все его   -уровни.

Эта теорема играет важную роль в теории нечетких отношений. Во-первых, она показывает, что основные типы обычных отношений и их свойства могут быть обобщены и на случай нечетких отношений, и приводит ясный способ такого обобщения. Во-вторых, оказывается, что основные типы нечетких отношений могут быть представлены как совокупность, иерархия обычных отношений того же типа. И если решением практической задачи является получение на множестве   некоторого отношения заданного типа, например эквивалентности или порядка, то построение на   соответствующего нечеткое отношение позволяет получать сразу ансамбль необходимых обычных отношений, а это дает возможность учитывать неоднозначность решений, присущих практическим ситуациям, и предоставляет лицу, принимающему решение, некоторую свободу выбора. В-третьих, теория нечетких множеств, допуская подобную неоднозначность возможных решений, ограничений и целей, дает возможность оперировать сразу всей совокупностью таких объектов как единым целым.

Нечеткое отношение   может быть представлено в следующем виде:

где отношения   определяются следующим образом:

Кроме всех вышеописанных свойств, выполняющихся для всех   -уровней, могут быть определены аналогичные свойства, выполняющиеся только для одного или нескольких   -уровней. Приведем примеры таких   -свойств, предполагая, что элемент   фиксированный:

 -симметричность

 -транзитивность

Аналогично могут быть определены и другие   -свойства. Они могут рассматриваться в задачах, в которых вводится порог на силу отношения   либо ищется такое  , при котором   обладает требуемым свойством.