2 Раздел

Краткое изложение раздела

1. Полиномом (многочленом) называется алгебраическая сумма одночленов (мономов).

2. Моном – это произведение числа и степени формальной переменной.

3. Полная форма полинома представляет собой сумму мономов.

4. Сокращенная форма полинома образуется последовательностью коэффициентов разложения полинома, включая их нулевые значения.

5. Полином, старший коэффициент разложения которого равен единице, называется унитарным (нормированным или приведенным).

6. Число разрядов полинома на единицу больше его степени.

7. Степень неприводимого полинома — это максимальная степень входящего в полином монома с ненулевым коэффициентом.

8. Порядок полинома — это такое наименьшее натуральное число , при котором данный полином делит без остатка двучлен .

9. Особенность алгебраических операций в двоичном модульном пространстве проявляется в том, что в нем операция вычитания совпадает с операцией сложения, т.е. знак можно заменить на .

10. Простой многочлен — это такой унитарный многочлен, который нельзя разложить на произведение двух многочленов более низкой степени.

11. Приводимыми называются такие полиномы, которые могут быть представлены в виде произведения не менее двух полиномов меньшей степени.

12. Неприводимыми называются такие полиномы, которые не могут быть представлены в виде произведения двух полиномов меньшей степени.

13. Неприводимым является такой полином, который не имеет никаких других делителей, кроме тривиальных.

14. К тривиальным делителям полинома относятся единица и сам полином.

15. Неприводимый над простым полем Галуа полином называется примитивным, если его корень является примитивным элементом расширенного поля характеристики .

16. Примитивным является такой элемент поля Галуа, который порождает мультипликативную группу максимального порядка (периода).

17. Последовательность степеней, начиная с нулевой степени, примитивного элемента в кольце вычетов по модулю неприводимого полинома содержит все ненулевые элементы поля расширенного поля Галуа .

18. Примитивным полиномом является неприводимый над полином степени характеристики (необходимые условия), порождающий расширенное поле Галуа , минимальный примитивный элемент которого совпадает с характеристикой поля (достаточные условия).

19. Примитивным полиномом является неприводимый над полином степени характеристики (необходимые условия), порождающий расширенное поле Галуа , минимальный примитивный элемент которого совпадает с характеристикой поля (достаточные условия).

20. Любой примитивный полином является неприводимым, тогда как не каждый неприводимый полином примитивен.

21. Двоичный полином степени тогда и только тогда является неприводимым полиномом, если он — нечетный унитарный полином с нечетным весом (необходимые условия), не допускающий разложения в виде произведения двух или нескольких полиномов меньших степеней (достаточное условие).

22. Двойственным неприводимым полиномом называется полином, у которого порядок следования коэффициентов мономов является инверсным по отношению к порядку следования коэффициентов исходного полинома.

23. Полином, двойственный неприводимому, также неприводим, а двойственный примитивному – примитивен.

24. Двоичные полиномы первой степени являются вырожденными примитивными полиномами.

25. Последовательность степеней образующего элемента , начиная с нулевой степени, приведенных к остатку по модулю неприводимого полинома характеристики , называется мультипликативной последовательностью, формируемой элементом над НП степени .

26. Число различных элементов мультипликативной последовательности является порядком последовательности.