Краткое изложение раздела

Высшая арифметика, или теория чисел, изучает свойства натуральных чисел 1, 2, 3, ...
Число есть абстрактная количественная мера множества элементов произвольной природы, т.е. число — это понятие, используемое для выражения количества. Число состоит из цифр.
Цифра — это знак для обозначения числа.
Знаки — это условные обозначения, предназначенные для записи математических понятий (включая понятие числа) и выкладок.
Позицию цифры в записи числа называют разрядом.
Натуральными числами называются числа, естественным образом используемые при счете. Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке их возрастания (1, 2, 3, ...), называется натуральным рядом.
Расширенным натуральным рядом называется последовательность целых неотрицательных чисел, начинающаяся с нуля (0, 1, 2, 3...).
Натуральное число делится на натуральное число , если найдется такое натуральное число , что Делимость числа на без остатка обозначается так .
Числа 1 и являются несобственными делителями натурального числа
Делители натурального числа , отличные от единицы и самого числа , называются собственными делителями числа .
Простым называется такое число , которое делится лишь на 1 и само на себя, т.е. имеет только несобственные делители.
Составным называется такое число , которое кроме несобственных делителе имеет хотя бы один собственный делитель.
Целое число называется общим делителем целых чисел если каждое из этих чисел делится на .
Два неотрицательные целые числа и называются взаимно простыми, если их единственным общим делителем является единица.
Любое число, большее 1, является простым числом либо разлагается в виде произведения простых чисел одним и только одним способом.
Целое число называется наибольшим общим делителем (НОД) целых чисел , если:

- является общим делителем этих чисел;

- делится на любой общий делитель чисел .

НОД совокупности целых чисел обозначается так или просто .
НОД взаимно простых чисел и равен 1.
Под системой счисления принято понимать способы записи чисел посредством цифровых знаков (цифр) и правила действий над числами.
Системы счисления можно разделить на непозиционные и позиционные системы.
Непозиционные системы счисления характеризуются тем, что каждый знак (из совокупности знаков, принятой в данной системе для обозначения чисел) всегда обозначает одно и то же число независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа.
В позиционных системах один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемым этим знаком в записи числа.
Количество различных цифр, применяемых в позиционной системе счисления (ПСС), называют ее основанием.
Элементарными цифрами произвольной ичной позиционной системы счисления являются цифры от 0 (нуля) до , где ОСС.
Каждая позиция числа с присвоенным ей порядковым номером называется разрядом числа.
В любой ичной позиционной системе счисления основание системы записывается в виде комбинации цифр 10.
Вычетом числа по модулю называется разность между числом и произведением , где есть целая часть отношения , т.е. .
Для перевода целого числа из одной позиционной системы в другую его надо последовательно разделить на основание той системы, в которую оно переводится. При этом основание представляется в виде комбинации цифр, являющихся элементарными цифрами основания системы счисления исходного числа. Деление производится до тех пор, пока частное не получится меньше чем . Число в новой системе запишется в виде остатков деления, считываемых начиная от последнего остатка к первому.
В настоящее время наибольшее применение находят двоично-степенные системы счисления, основаниями которых являются числа , где натуральное число.
Обобщением двоично-степенных систем счисления являются ично степенные системы, в которых основание систем счисления , где простое, а натуральное число.
Два целых числа и называют сравнимыми по модулю , если одинаковыми являются их вычеты по модулю .
Вычеты положительных чисел по модулю образуются в результате «накрутки» по часовой стрелке положительной числовой полуоси на барабан, содержащий равномерно расставленных на барабане остатков по модулю , т.е. числа .
Вычеты отрицательных чисел по модулю образуются в результате «накрутки» против часовой стрелки отрицательной числовой полуоси на барабан, содержащий равномерно расставленных на барабане остатков по модулю .
Если два числа и при делении на модуль образуют один и тот же остаток , то относительно их говорят, что эти числа принадлежат одному и тому же классу вычетов по модулю .
Элемент , принадлежащий множеству вычетов по простому модулю , называется квадратичным вычетом (невычетом) по модулю , если существует (не существует) такое , что .
Совокупность классов вычетов образует полную систему вычетов по модулю , представители которой (числа ) принадлежат множеству , где простое число.
В полной системе ненулевых вычетов по модулю , обозначаемой , половина из них будет квадратичными вычетами, а другая половина — квадратичными невычетами.
Отличительная особенность поразрядных операций в модульной арифметике состоит в том, что все арифметические операции (сложения, вычитания, умножения и деления) выполняются исключительно над одноразрядными числами.
Функция Эйлера равна количеству положительных целых чисел, меньших и взаимно простых с , для любого .
Если , то функция Эйлера является четным числом.
Модульной будем называть матрицу , все элементы которой принадлежат множеству , т.е. , причем простое число, и, кроме того, любые алгебраические преобразования над элементами матриц завершаются приведением их к остатку по модулю . Такие матрицы называют еще матрицами над полем Галуа характеристики , когда .
Произведением квадратных модульных матриц и порядка называется матрица , элемент которой, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен остатку по модулю от суммы произведения элементов i-й строки матрицы на соответствующие элементы j-го столбца матрицы .
Для произведения модульных матриц сохраняются распределительный и сочетательный законы арифметики. Вместе с тем, произведение модульных матриц, как и обычных, зависит от порядка сомножителей, т.е. умножение модульных матриц в общем случае некоммутативно.
Модульная матрица называется обратной для матрицы , если их произведение по модулю равно единичной матрице.
Если определитель  модульной матрицы не равен нулю и, кроме того,  и основание системы счисления взаимно простые числа, то матрица имеет обратную матрицу .
Основание системы счисления должно быть простым числом , так как в противном случае не гарантируется существование определителя модульной матрицы .
Кронекеровское произведением матриц и есть матрица , образованная замещением элементов матрицы произведением .
Если в кронекеровском произведении участвуют модульные матрицы и с основанием системы счисления, равном , то все элементы матрицы кронекеровского произведения следует привести к остатку по модулю .