Генерация кандидатов

Последовательность, состоящую из k элементов будем называть k-последовательностью. Пусть L_k - содержит все частые k-последовательности, а C_k набор кандидатов из k-последовательностей. В начале каждого шага мы располагаем L_{k − 1} - набором частых (k-1)-последовательностей. Необходимо на их основе построить набор всех частых k-последовательностей. Введём определение смежной подпоследовательности. При наличии последовательности s = < s₁s₂...s_n > и подпоследовательности c, c будет являться смежной последовательностью s, если соблюдается одно из условий:

1. c получается из s при удалении элемента из s первого (s₁) или последнего (s_n).

2. c получается из s при удалении одного объекта из элемента s_i, если в его составе не менее двух объектов.

3. c - смежная подпоследовательность c`, если c` смежная подпоследовательность s.

Например, дана последовательность s=<(1,2)(3,4)(5)(6)>. Последовательности <(2)(3,4)(5)>, <(1,2)(3)(5)(6)> и <(3)(5)> являются смежными подпоследовательностями s.

А последовательности <(1,2)(3,4)(6)> и <(1)(5)(6)> таковыми не являются. Генерация кандидатов происходит в две фазы.

• Фаза объединения. Мы создаём последовательности кандидаты путём объединения двух последовательностей L_{k − 1}.

Последовательность s₁ объединяется с s₂ если подпоследовательность, образующаяся путём удаления объекта из первого элемента s₁ будет та же, что и в случае удаления объекта из последнего элемента s₂. Объединение последовательностей происходит путём добавления к s₁ последнего элемента из s₂. При объединении L₁ c L₁ нам нужно также добавить элемент к s₂ как дополнительный объект к последнему элементу, так и в качестве отдельного элемента, так как <(x y)> и <(x)(y)> дадут одну и ту же последовательность <(y)> при удалении первого объекта. Таким образом исходные последовательности s₁ и s₂ являются смежными подпоследовательностями для новой последовательности-кандидата.

• Фаза очистки. Удаляем последовательности-кандидаты которые содержат смежные (k-1)-подпоследовательности, чья поддержка меньше минимально допустимой. Если параметр max-gap не задан, то также удаляются кандидаты, содержащие последовательности (в т.ч. не смежные), поддержка которых меньше минимально допустимой.

Пример.

Частые 3-последовательности	Кандидаты 4-последовательности
	После объединения	После очистки
<(1,2)(3)> <(1,2)(4)> <(1)(3,4)> <(1,3)(5)> <(2)(3,4)> <(2)(3)(5)>	<(1,2)(3,4)> <(1,2)(3)(5)>	<(1,2)(3,4)>

В таблице показаны L₃ и C₄ после завершения обеих фаз. В фазе объединения последовательность <(1,2)(3)> объединяется с <(2)(3,4)> и образует <(1,2)(3,4)>, а с последовательностью <(2)(3)(4)> - <(1,2)(3)(5)>. Оставшиеся последовательности не объединяются друг с другом. Например, последовательность <(1,2)(4)> не может быть объединена ни с одной другой из L₃ так как не существует последовательности вида <(2)(4 x)> или <(2)(4)(x)>. В фазе очистки последовательность <(1,2)(3)(5)> удаляется, поскольку её смежная подпоследовательность <(1)(3)(5)> не входит в L₃, а значит не является часто встречающейся.