Предельные теоремы теории вероятностей. (в задачах просят оценить (нер-ва Маркова или Чебышева) или исследуется сумма одинаково распределенных случайных величин (цпт))
С.в. X – число клиентов, обслуживаемое банком за день. Известно, что M(X)=30, а
.
Оценить вероятности: а)
;
б)
;
в)
.С.в. X – число родившихся мальчиков в группе из 800 новорожденных детей. Вероятность рождения мальчика равна 0,5. Оценить вероятности: а)
;
б)
;
в)
.С.в. X – число солнечных дней за три летних месяца (90 дней). Вероятность того, что летний день будет солнечным, равна
.
Оценить вероятности: а)
;
б)
.С.в. X – число звонков в офис фирмы за день. Известно, что среднее количество звонков в течение дня равно 24, а
.
Оценить вероятности: а)
;
б)
;
в)
.Дисперсия каждой из 2000 независимых с.в. не превышает 2. Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий меньше 0,04.
Игральная кость подбрасывается 360 раз. Найти вероятность того, что суммарное число очков будет находиться в пределах от 1200 до 1298.
Поезд состоит из 49 вагонов. С.в.
– вес вагона.
т,
т. Локомотив может везти поезд, если
суммарная масса вагонов не превосходит
3000 т. Какова вероятность того, что поезд
поедет?
Системы дискретных случайных величин.
По цели производится два независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,8, при втором 0,9. С.в. X – число попаданий при первом выстреле, Y – число попаданий при втором выстреле. Найти: а) ряд распределения с.в.
;
б)
В коробке среди 10 шаров есть 2 белых. Девушка и парень по очереди вытягивают один шар и кладут его обратно. X – число белых шаров, которые вытянула девушка, Y – белых шаров, которые вытянул парень. Найти: а) ряд распределения с.в. ; б)
Заданы законы распределения двух независимых друг от друга случайных величин:
|
8 |
9 |
10 |
|
|
8 |
9 |
10 |
|
0,1 |
0,3 |
0,6 |
|
|
0,2 |
0,3 |
0,5 |
Найти: а) закон распределения с.в.
;
б) функцию распределения F(x,y);
в)
.
Двумерная случайная величина задана таблицей распределения
X\Y |
-1 |
0 |
1 |
-5 |
0,2 |
D |
0,3 |
5 |
0,2 |
0,15 |
0,1 |
Найти: а) D; б) ряд распределения
с.в. X и с.в. Y;
в) являются ли с.в. X и Y
независимыми?
г) условный закон
распределения с.в. Y при
условии, что
;
д)
е)
;
е)
Функции случайных величин.
X и Y – независимые случайные величины, заданные рядами распределения:
|
-1 |
0 |
1 |
|
|
2 |
3 |
|
0,2 |
0,3 |
0,5 |
|
|
0,4 |
0,6 |
Найти:
а) ряд распределения случайной величины
,
найти
;
б) ряд распределения случайной величины
,
найти
в) ряды распределения случайных величин
и
,
найти
.
2. Пусть X и Y – независимые случайные величины, заданные законами распределения:
|
1 |
2 |
3 |
|
|
2 |
4 |
|
0,3 |
0,2 |
0,5 |
|
|
0,6 |
0,4 |
Не строя ряд распределения, определить:
а)
;
б)
в)
Совместное распределения д.с.в. X и Y задано таблицей:
X\Y |
0 |
4 |
9 |
1 |
0,2 |
0,15 |
0,1 |
4 |
0,3 |
0,2 |
0,05 |
Найти: а) ряд распределения с.в.
;
б)
Известно, что н.с.в.
.
Найти: а) плотность распределения и
функцию распределения с.в.
б) плотность распределения и функцию
распределения с.в.
в)
Случайная величина X имеет плотность распределения
Найти плотность распределения
вероятностей g(y)
случайной величины Y,
если: а)
б)
Ответы: VI. 1.а)
|
0 |
1 |
2 |
|
28/45 |
16/45 |
28/45 |
б)
0; 17/45; в) 576/2025; 2; г) 1,6; 2. б) 0,98; 0,28; в) 1,7; г) 0,5; 2; 3. б) 0,99; 1; в) 0,18; 2; 4. б) 0; 0,104; в) 2,4; г) 0,693; 3; 5. а) 0,4; 0,5; б) 0,7; 3,61; 1,9; 2; в) 0,095; VII. 1. а) 1/2; б)
;
в) 0; 0,125; 1/64; г) 3/4; 3/80; 0,194;
;
1; 2. а) 1; в) 0,5; 1; 0,25; г) 2/3;
1/18; 0,236; 0,707; 1; 3. а) 1,5; б)
;
в) 1; 0,5; г) 1; 2; 4. а) 2/9; б)
;в) 1; г) 16/81; 5. а)1/π; б)
;
в) 1/3; VIII. 1.
288; 2/3; 2. а) 17; б) 2,55; 3. а)
9; б) 591; в)
;
4. а) 2; 1,41; б)
;
5. а) 3,439; б) 10; 6. а) 25; б)
;
7. а) 196; 14; б)
;
8. б) 25/3; в) 3/5; 9. б) 5/6;
в) 2/3; 10. а) 0,1587; б) 0,6826; в)
9; 11. 0,5; 12. 0,9546;IX. 1. а)
;
б)
;
в)
2. а)
;
б)
;
в)
3. а)
б)
4. а)
;
б)
;
в)
5.
;
6. 0,8468; 7. 0,8888; X. 1. а)
X\Y |
0 |
1 |
0 |
0,02 |
0,18 |
1 |
0,08 |
0,72 |
б) 0,8; 0,9; 0,16; 0,09; 0; 2. б) 0,8; 0,8; 0,16; 0,16; 0; 3. см. 6.12.8 Лунгу ; 4. а) 0,05; в) зависимы; г)
|
-1 |
0 |
1 |
|
4/11 |
1/11 |
6/11 |
д) 2/11; е) 3/11; ж) -0,5; 0; 24,75; 0,8; -0,22; XI. 1.
а) |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
б) |
|
-3 |
-2 |
0 |
2 |
3 |
||
|
0,08 |
0,24 |
0,38 |
0,3 |
|
0,12 |
0,08 |
0,3 |
0,2 |
0,3 |
||||
|
|
|||||||||||||
в) |
|
0 |
1 |
|
|
3 |
5 |
|
0,3 |
0,7 |
|
0,4 |
0,6 |
||
M(V)=0,7 |
M(U)=4,2 |
||||||
2. а) 3,84; б) 5,2; в) 1; 0,8; 3. а)
|
|
-2 |
-1 |
1 |
2 |
4 |
|
0,1 |
0,15 |
0,25 |
0,2 |
0,3 |
б) -3,05; 4. а) 6.13.32 Лунгу; б) 6.13.32 Лунгу; в) 2; 2/3; 5. 6.13.31 Лунгу