Условная вероятность. Вероятность произведения зависимых и независимых событий. Вероятность суммы совместных и несовместных событий.
В партии из 50 калькуляторов 6 бракованных. Продавец наудачу выбирает 2 калькулятора. Какова вероятность того, что: а) первый калькулятор бракованный, а второй нет; б) оба калькулятора без брака.
Только один из 9 ключей подходит к данному замку. Какова вероятность того, что придется опробовать 5 ключей до открывания замка?
Студент выучил 20 из 25 вопросов. Экзаменатор задает 2 вопроса. Какова вероятность того, что: а) студент ответит только на второй вопрос; б) студент не ответит ни на один вопрос?
Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,4, а второго – 0,7. Какова вероятность того, что: а) попал только один стрелок; б) попал хотя бы один стрелок; в) ни один стрелок не попал по мишени; г) оба стрелка попали.
На сессии студенту предстоит сдать экзамены по трем предметам. Студент освоил 90% вопросов по первому предмету, 95% вопросов по второму предмету и 50% по третьему предмету. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст все экзамены; б) сдаст только второй экзамен; в) не сдаст ни одного экзамена; г) сдаст хотя бы один экзамен.
В течение года две фирмы имеют возможность, независимо друг от друга, обанкротиться с вероятностями 0,06 и 0,09. Какова вероятность того, что к концу года: а) обе фирмы не обанкротятся; б) обанкротится хотя бы 1 фирма; в) обе фирмы обанкротятся.
Один студент выучил 20 из 25 вопросов программы, а второй – только 15 из 25. Каждому из них задают по одному вопросу. Какова вероятность того, что правильно ответят: а) оба студента; б) только первый студент; в) хотя бы один из студентов.
Рабочий обслуживает два станка. Вероятность того, что за смену первый станок не сломается равна 0,9, второй – 0,8. Какова вероятность того, что за смену: а) не сломается второй станок, а первый сломается; б) не сломаются оба станка; в) сломается хотя бы 1 станок.
Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
В ремесленном цехе трудятся 3 мастера и 6 их учеников. Мастер допускает брак при изготовлении изделия с вероятностью 0,05; ученик – с вероятностью 0,15. Наугад берем одно изделие. а) Какова вероятность того, что изделие бракованное? б) Изделие оказалось бракованным. Какова вероятность того, что его изготовил мастер?
В магазин поставляются телевизоры двумя фирмами в соотношении 5:2. Поступившие телевизоры не требуют гарантийного ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 96%, 92% случаев. Куплен один телевизор. а) Какова вероятность того, что он не потребует ремонта в течение гарантийного срока? б) Телевизор не потребовал ремонта. Какая фирма вероятнее всего поставила данный телевизор?
Курс доллара повышается в течение квартала с вероятностью 0,9 и понижается с вероятностью 0,1. При повышении курса доллара фирма рассчитывает получить прибыль с вероятностью 0,85, а при понижении – с вероятностью 0,5. а) Какова вероятность того, что фирма получит прибыль? (не получит прибыль?) б) Фирма получила прибыль. Какова вероятность того, что курс доллара понизился в течение квартала?
В контрольное управление для выборочной проверки было предоставлено 15 счетов первой организацией и 10 счетов второй организацией. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций известны и соответственно равны: 0,9; 0,8. Был выбран один счет. Счет оказался оформлен неправильно. Какова вероятность того, что его оформила вторая организация?
В данный район изделия поставляются двумя фирмами в соотношении 5:8. Среди продукции первой фирмы 90% стандартных изделий, второй фирмы – 70% стандартных изделий. Взятое наугад изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено первой фирмой?
Вероятность выпуска конкурентом товара равна 0,35. Вероятность того, что товар будет пользоваться на рынке спросом, если конкурент выпустит в продажу аналогичный товар, равна 0,25, а если не выпустит, то 0,8. Какова вероятность того, что товар не будет пользоваться на рынке спросом?
На строительство объекта поступают железобетонные плиты из 4 цементных заводов в количестве 50, 10, 40 и 30 штук соответственно. Каждый из заводов допускает при изготовлении брак (несоответствие ГОСТ), равный 1%, 5%, 2% и 3% соответственно. Какова вероятность того, что наугад взятая плита будет удовлетворять требованиям ГОСТ?
Из 16 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8, 7 - с вероятностью 0,8 и 4 - с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал стрелок?
Брокер может приобрести акции одной из трех компаний А, В, С. При покупке ценных бумаг компании А риск потерь 30%, компании В – 50%, компании С – 20%. Брокер приобрел бумаги наудачу выбранной компании. Какова вероятность того, что брокер понесет потери?
Схема Бернулли. Приближенные формулы в схеме Бернулли (формула Пуассона, формула Муавра-Лапласа). Полиномиальное распределение.
В среднем 20% акций на аукционе продается по первоначально заявленной стоимости. Найти вероятность того, что из 10 пакетов акций в результате торгов по первоначальной стоимости будет продано: а) ровно 5 пакетов акций; б) от 3 до 5 пакетов акций; в) более 9 пакетов акций.
Считая, что в среднем 15% открывающихся малых предприятий становятся банкротами в течение года, найти вероятность того, что из 5 новых малых предприятий за это время банкротами станут: а) 4 предприятия; б) не более 1 предприятия; в) хотя бы одно предприятие.
Каждое из 4 предприятий отрасли выполняет месячный план с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что по истечению месяца план выполнят; а) 3 предприятия; б) менее 3 предприятий; в) найти
и
,
где
- наивероятнейшее число предприятий,
которые выполнили месячный план.Вероятность выигрыша по билету лотереи равна 0,125. Куплено 5 билетов. Какова вероятность того, что среди них будет не менее 1 и не более 3 выигрышных билета.
В магазине продается 7 телевизоров марки Philips. Вероятность того, что в течение месяца будет продан один телевизор 0,8. Найти и
,
где
- наивероятнейшее число непроданных
телевизоров по истечении месяца.В 5% случаев страховая компания выплачивает по договорам страховку. Найти вероятность того, что по истечению 200 договоров компания уплатит страховку: а) по 3м договорам; б) менее чем по 2 договорам; в) хотя бы по 2м договорам; г) найти и
,
где
- наивероятнейшее число договоров, по
которым будет выплачена страховка.Вероятность того, что любой из 500 пассажир опоздает к поезду, равна 0,01. Найти: а) найти и
,
где
- наиболее вероятное число опоздавших
пассажиров; б) вероятность того, что
хотя бы один пассажир опоздает к поезду.Вероятность изготовления доброкачественного изделия равна 0,9. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 300 изделий 95% окажется доброкачественных.
Вероятность рождения девочки равна 0,485. Найти вероятность того, что из 600 родившихся детей: а) будет 200 мальчиков; б) девочек будет больше, чем мальчиков; в) наивероятнейшее число родившихся мальчиков.
Всхожесть семян некоторого растения составляет 80%. Найти вероятность того, что из 6 посеянных семян взойдут не менее трех.
Магазин получил 1000 бутылок шампанского. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.
В электричку из 4 вагонов садятся наудачу 8 пассажиров. Какова вероятность того, что в каждый вагон вошло по 2 человека?
Ответы: I. 1. 0,3; 2. а) 3968/11781; б) 153/385; 3. 45/2431; 4. а) 1/6; б) 0,8; 5. а) 435/988; б) 244/247; 6. 913/969; 7. а) 950/2639; б) 3287/3393; 8. 13309/75670; 9. 0,72; 10. 8/253; 11. а) 0,25; б) 5/28; 12. 1/3; 13. 1/66; 14. 4200; 2/15; II. 1. 3/5; 2. (1+ln(4))/4; 3. 1/9; 4. 7/16; 5. 0,0975; III. 1. а) 132/1225; б) 946/1225; 2. 1/9; 3. а) 1/6; б) 1/30; 4. а) 0,54; б) 0,82; в) 0,18; г) 0,28; 5. а) 0,4275; б) 0,0475; в) 0,0025; г) 0,9975; 6. а) 0,8554; б) 0,1446; в) 0,0054; 7. а) 0,48; б) 0,32; в) 0,92; 8. а) 0,08; б) 0,72; в) 0,28; IV. 1. а) 35/300; б) 1/7; 2. а) 166/175; б) первая; 3. а) 0,815 (0,185); б) 10/163; 4. 4/7; 5. 45/101; 6. 0,3925; 7. 1273/1300; 8. третья группа; 9. 1/3; V. 1. а) 0,026; б) 0,337; в) 0,0000001; 2. а) 0,0022; б) 0,83521; в) 0,5563; 3. а) 0,4116; б) 0,1416; в) 3; 0,4116; 4. 0,4861; 5. 1; 0,367; 6. а) 0,0008; б) 0,00055; в) 0,99945; г) 10; 0,1378; 7. а) 5; 0,1745; б) 0,9933; 8. 0,001; 9. а) 0; б) 0,2061; в) 309; 10. 0,98304; 11. 0,5767; 12. 0,038