7,8. Кесіндіні және шеңберді тең бөліктерге бөлу.

Ең алдымен оқушыларға шеңберді тақтаға сызып, содан соң оны тең бөліктерге бөлу жолдарын көрсетемін.

1. Берілген АВ кесіндісін тең n бөлікке бөлу (17, а-сурет). Ол үшін осы кесіндінің бір ұшы, мысалы, А нүктесі арқылы қалауымызша сәуле жүргіземіз. Осы түзудің бойына ұзындығы қалауымызша алынған өзара тең n кесіндіні А нүктесінен бастап өлшеп саламыз. Сөйтіп, өзара тең n бөлікке бөлінген ААn кесіндісін аламыз. Ең соңғы Аn нүктесін В нүктесімен түзу арқылы қосамыз. Бөліну нүктелері А1, А2, ... , Аn-1 арқылы АnВ түзуіне параллель түзулер жүргізсек, олар АВ кесіндісін В1, В2, ..., Вn-1 нүктелерінде қияды. Сонда АВ кесіндісі де тең n бөлікке бөлінгендігін аңғару қиын емес. Мысалы, АВ кесіндісін [AC] : [CB] = 3:4 қатынасында бөлетін С нүктесін табу керек болсын. Кесіндінің бір ұшы – А арқылы сәуле жүргізіп, оның бойына өзара тең 3+4=7 кесіндіні АА1, А1А2, ... , А6А7 өлшеп саламыз. Соңғы А7 нүктесін В нүктесімен қосамыз (17, ә-сурет). [АА7]-ні 3:4 қатынасында бөлетін А3 нүктесі арқылы А7В түзуіне параллель жүргізілген түзу АВ кесіндісін С нүктесінде қияды.

2. Шеңберді тең 3, 6, 12 бөлікке бөлу. Ең алдымен шеңберді тең 6 бөлікке бөлуді қарастырайық. Берілген шеңберді тең 6 бөлікке бөлу үшін

(18, а-сурет) шеңберсызардың сирақтарының алшақтығын шеңбердің радиусына тең етіп аламыз. Шеңбердің диаметрін жүргізіп, оның шеткі нүктелерін А және В деп белгілейік. Шеңберсызардың инесін А нүктесіне қадап, оның сирақтарының алшақтығын өзгертпей шеңбер жүргізсек, екі шеңбер С және D нүктелерінде қиылысады. Шеңберсызардың инесін А нүктесінен В нүктесіне көшіріп, осы айтылғанды қайталап, Е және Ғ нүктелерін аламыз. Алынған А, С, В, Ғ, D нүктелері шеңберді тең алты бөлікке бөледі. А, Е және Ғ немес С, В және D нүктелері шеңберді тең бөлікке бөледі.

Шеңбердің АВ диаметріне перпендикуляр МN диаметрін салайық. М нүктесі центрі болатын және О нүктесі арқылы өтетін шеңбер жүргізсек, ол алғашқы шеңберді К және L нүктелерінде қияды. Шеңберсызардың инесін N нүктесіне қадап, салуды қайталау нәтижесінде Р және Т нүктелерін аламыз. Енді шеңбер тең 12 бөлікке бөлінді. (18, ә-сурет).

3. Шеңберді тең 4, 8, 16 бөлікке бөлу. Шеңберді тең 4 бөліке бөлу оңай. Ол үшін өзара перпендикуляр АС және ВD диаметрлерін жүргізсек болғаны (18, б-сурет). А, В, С және D нүктелерін қосатын хордалар жүргізсек, шеңберге іштей сызылған шаршы шығады. Шеңбердің центрінен шаршының қабырғаларына түсірілген перпендикуляр түзулер шеңберді тағы да төрт нүктеде қияды. Сонда шеңберді A, L, B, E, C, F, D, K нүктелері тең 8 бөлікке бөледі. (18, в-сурет). Көршілес нүктелерді қосатын хордалардың ортасын центрмен қосатын түзулер арқылы шеңберді тең 16 бөлікке бөле аламыз.

4. Шеңберді тең 5 және 10 бөлікке бөлу. Шеңберге іштей дұрыс бесбұрыш салу үшін оның өзара перпенлдикуляр АК және MN диаметрлерін жүргіземіз. NO кесіндісінің ортасын табамыз. (18, г-сурет). [NL] = [LO]. L нүктесін центр етіп алып, А нүктесі арқылы шеңбер жүргізеді. Міне, осы шеңбер MN диаметрін Ғ нүктесінде қияды. Сонда АҒ кесіндісі берілген шеңберге іштей сызылатын дұрыс бесбұрыштың бір қабырғасының ұзындығын береді. Шеңберсызар сирақтарының бір ұшын А нүктесіне, екінші ұшын Ғ нүктесіне орнатып, одан кейін шыңберсызар сирақтарының аралығын өзгертпей шеңбер бойынша, мысалы, А нүктесінен бастап төрт рет өлшеп салу арқылы B, C, D және Е нүктелерін аламыз. А және Е нүктелерінің аралығын А және Ғ нүктелерінің аралығымен салыстырып көреміз. Бұл аралықтар өзара тең болуы қажет. Егер соңғы теңдік сақталмаса, онда салу жұмысының дәл орындалмағаны. Сондықтан тұрғызуларды кем дегенде әртүрлі екі әдіспен орындап, оның дәлдігін қадағалап отыру керек.

9. Шеңберге жанама жүргізу.

. Берілген А нүктесі арқылы шеңберге жанама жүргізу керек болсын. Алдымен жанамаға анықтама берелік. Қисықтың екі нүктесін қосатын түзуді қиюшы дейді. 19, а-суретте көрсетілген I қисығының М және N нүктелерін қосатын а түзуі — онын қиюшыларының бірі. М нүктесін орнынан козғамай, оған N нүктесін қисық бойымен біртіндеп жақындатайық. Сонда қиюшы түзу М нүктесінен айнала отырып, М және N нүктелері біріккен шекті жағдайда і түзуіне өзгереді. Осы I түзуі I қисығына М нүктесінде жүргізілген жанама делінеді, ал М нүктесі жанасу нүктесі делінеді. Түзудің кез келген нүктесі арқылы жүргізілген жанама сол түзудің өзімен бірігеді, яғни сол түзудің өзі болады.

Берілген А нүктесі берілген шеңберге қарағанда екі түрлі орналасуы мүмкін: ол шеңбердің бойында жатады (19, б-сурет) немесе одан тыс орналасады (19, б-сурет). Бірінші жағдайда А нүктесі Жанасу нүктесі болады. Жанасу нүктесін центрмен косатын радиус жанамаға перпендикуляр болады. Сондықтан жанама і жанасу нүктесі аркылы өтетін радиусқа перпендикуляр болады (19, ә-сурет). Екінші жагдайда (19, б-сурет) берілген А нүктесін шеңбердің центрімен косамыз да, АО кесіндісінің ортасын табамыз. Табылған С нүктесін центр етіп алып, О және А нүктелері арқылы өтетін шеңбер жүргіземіз. Шеңберлер В нүктесінде қиылысады. Осы В жанасу нүктесі болатынына көз жеткізу киын емес. Берілген А нүктесін В нүктесімен косатын і түзуі — іздеп отырған жанамамыз.

Радиустары К және г болатын екі шеңберге ортақ жанама жүргізу керек болсын. Екі жағдай болуы мүмкін: жанасу нүктелері А және В берілген шеңберлердің центрлерін қосатын түзудің бір жағында (20, а-сурет) орналасады немесе әр жагында (20, а-сурет) орналасады. Бірінші жағдайда үлкен шенбермен центрлес, радиусы берілген шеңберлердің радиустарының айырымына тең шеңбер жүргіземіз. Осы шеңберге кіші шеңбердің центрінен жанама жүргіземіз. Бұл жанама радиусы |R-г| көмекші шеңберді М нүктесінде жанайды. М нүктесін центрмен косатын түзу үлкен шеңберді А нүктесінде кияды. Кіші шеңбердің центрі арқылы ОхМ-ге параллель жүргізілген түзу кіші шеңберді В нүктесінде қияды. Жанасу нүктелерін (А мен В) тапқаннан кейін, оларды түзу сызықпен қосу нәтижесінде жанама тұрғызылады.

Е кінші жағдайда 0,02 кесіндісін диаметр етіп алып, шеңбер сызады (20, ә-сурет). үлкен шеһбердің центрінен радиусы берілген шеңберлердің радиустарының қосындысына тең шеңбер жүргізеді. Осы көмекші шеңберлердің қиылысу нүктесін берілген шеңбеңлердің центрлерімен қосса, 01,М және 02М кесінділері шығады. Олардың біріншісі үлкен шеңберді жанасу нүктесі болатын А нүктесінде қияды, ал екіншісі жанама бағытын анықтайды. 02 нүктесі арқылы О1М-ге параллель жүргізілген түзу кіші шеңберді В нүктесінде қияды. В — екінші жанасу нүктесі. Енді жанасу нүктелері А мен В-ні түзу сызықпен қосса болғаны.