2.2. Методика решения задач лп графическим методом.

I. В ограничениях задачи (1.2) заменить знаки неравенств знаками точных равенств и построить соответствующие прямые.

II. Найти и заштриховать полуплоскости, разрешенные каждым из ограничений-неравенств задачи (1.2). Для этого нужно подставить в конкретное неравенство координаты какой-либо точки [например, (0;0)], и проверить истинность полученного неравенства.

Если  неравенство истинное,

то    надо заштриховать полуплоскость, содержащую данную точку;

иначе (неравенство ложное) надо заштриховать полуплоскость, не содержащую данную точку.

Поскольку и должны быть неотрицательными, то их допустимые значения всегда будут находиться выше оси и правее оси , т.е. в I-м квадранте.

Ограничения-равенства разрешают только те точки, которые лежат на соответствующей прямой. Поэтому необходимо выделить на графике такие прямые.

III. Определить ОДР как часть плоскости, принадлежащую одновременно всем разрешенным областям, и выделить ее. При отсутствии ОДР задача не имеет решений.

IV. Если ОДР – не пустое множество, то нужно построить целевую прямую, т.е. любую из линий уровня (где L – произвольное число, например, кратное и , т.е. удобное для проведения расчетов). Способ построения аналогичен построению прямых ограничений.

V. Построить вектор , который начинается в точке (0;0) и заканчивается в точке . Если целевая прямая и вектор построены верно, то они будут перпендикулярны.

VI. При поиске максимума ЦФ необходимо передвигать целевую прямую в направлении вектора , при поиске минимума ЦФ – против направления вектора . Последняя по ходу движения вершина ОДР будет точкой максимума или минимума ЦФ. Если такой точки (точек) не существует, то можно сделать вывод о неограниченности ЦФ на множестве планов сверху (при поиске максимума) или снизу (при поиске минимум).

VII. Определить координаты точки max (min) ЦФ и вычислить значение ЦФ . Для вычисления координат оптимальной точки необходимо решить систему уравнений прямых, на пересечении которых находится .

3. Расчет оптимального плана выпуска режущего инструмента зао «звезда» с использованием графического метода решения злп.

3.1 Математическая модель задачи

Предприятие ЗАО «Звезда» занимается выпуском торцевых и шпоночных фрез (А и B), стоимость которых равна 1500 и 1800 рублей соответственно. Заготовки для изделий предприятие приобретает за 120 руб. для торцевых и 150 руб. для шпоночных фрез. Для изготовления обоих видов фрез требуется выполнить токарную обработку, шлифовальную обработку, закаливание и заточку заготовок. Количество обрабатываемых заготовок в час показано в таблице 1. Стоимость станочного времени приведена в таблице 2.

Количество обрабатываемых заготовок Таблица 1.

Вид обработки	Торцевые фрезы (А)	Шпоночные фрезы (B)
	Шт./час	Шт./час
Токарная	37	62
Шлифовальная	42	53
Закаливание	50	25
Заточка	30	14

Стоимость станочного времени Таблица 2.

Вид станка	Стоимость часа работы (руб/час)
Токарный	1800
Шлифовальный	1100
Печь для закаливания	3000
Заточной	1250

Требуется построить модель с тем, чтобы определить количество единиц продуктов А и Б, которые предприятие должно производить для максимальной прибыли.

Этап 1. Определение маржинальной прибыли.

В первую очередь следует определить маржинальную прибыль на одно изделие (табл. 3).

Затраты-прибль на изделие Таблица 3.

	Торцевые фрезы	Шпоночные фрезы
Токарная обработка	1800/37=48,6 руб.	1800/62=29 руб.
Шлифовальная обработка	1100/44=26,2 руб.	1100/53=20,8 руб.
Закаливание	3000/50=60 руб.	3000/25=120 руб.
Заточка	1250/30=41,7 руб.	1250/14=89,2 руб.
Стоимость заготовки	120 руб.	150 руб.
Общие затраты	396,5 руб.	409 руб.
Продажная цена	1500 руб.	1800 руб.
Прибыль	1103,5 руб.	1391 руб.

Этап 2. Определение переменных.

Существует целевая переменная (обозначим её Z), которую необходимо оптимизировать, то есть максимизировать или минимизировать (например, прибыль, выручка или расходы). Предприятие стремится максимизировать маржинальную прибыль, следовательно, целевая переменная:

Z =    суммарная маржинальная прибыль (в рублях), полученная в результате производства фрез А и В.

Существует ряд неизвестных искомых переменных (обозначим их х₁, х₂, х₃ и пр.), чьи значения необходимо определить для получения оптимальной величины целевой функции, которая, в нашем случае является суммарной маржинальной прибылью. Эта маржинальная прибыль зависит от количества произведенных продуктов А и В. Значения этих величин необходимо рассчитать, и поэтому они представляют собой искомые переменные в модели. Итак, обозначим:

х₁ = количество единиц продукта А, произведенных в следующем месяце.

х₂ = количество единиц продукта В, произведенных в следующем месяце.

Очень важно четко определить все переменные величины; особое внимание уделите единицам измерения и периоду времени, к которому относятся переменные.

Этап. 3. Построение целевой функции.

Целевая функция – это линейное уравнение, которое должно быть или максимизировано или минимизировано. Оно содержит целевую переменную, выраженную с помощью искомых переменных, то есть Z выраженную через х₁, х₂… в виде линейного уравнения.

Каждый изготовленный продукт А приносит 1103,5 руб. маржинальной прибыли, а при изготовлении х₁ единиц продукта А, маржинальная прибыль составит 1103,5 × х₁. Аналогично маржинальная прибыль от изготовления х₂ единиц продукта В составит 1391 * х₂. Таким образом, суммарная маржинальная прибыль, полученная в следующем месяце за счет производства х₁ единиц продукта А и х₂ единиц продукта В, то есть, целевая переменная Z составит:

Z = 1103,5 × х₁ + 1391 × х₂

Предприятие стремится максимизировать этот показатель. Таким образом, целевая функция в нашей модели:

Z = 1103,5 × х₁ + 1391 × х₂max

Этап. 4. Определение ограничений

Ограничения – это система линейных уравнений и/или неравенств, которые ограничивают величины искомых переменных. Они математически отражают доступность ресурсов, технологические факторы, условия маркетинга и иные требования. Ограничения могут быть трех видов: «меньше или равно», «больше или равно», «строго равно».

Для производства продуктов А и В необходимо время станочной обработки и доступность этих ресурсов ограничена. Объемы производства этих двух продуктов (то есть значения х₁ их₂) будут, таким образом, ограничены количеством обрабатываемых деталей в час. Рассмотрим ситуацию с токарной обработкой заготовок. За один час токарной обработки подвергается 37 заготовок для фрез А 62 заготовки для фрез В.

Таким образом, общий объем обрабатываемых заготовок, необходимого для производства х₁ единиц продукта А и х₂ единиц продукта В, составляет

37/х₁ + 62/х₂. Математически это записывается следующим образом:

37 /х₁ + 62/ х₂ ≤1

Избавимся от знаменателей:

62х₁ + 37х₂ ≤2294

Аналогичные соображения применяются к шлифованию, закалки и заточки, что позволяет записать еще три ограничения:

53х₁ + 42х₂ ≤ 2226

25х₁ + 50х₂ ≤ 1250

14х₁ + 30х₂ ≤ 420

Этап 5. Запись условий неотрицательности.

Искомые переменные не могут быть отрицательными числами, что необходимо записать в виде неравенств х₁ ≥ 0 и х₂ ≥ 0.

Полная модель линейного программирования для производственной задачи может быть записана в виде:

Z = 1103,5х₁ + 1391х₂max

При условии, что:      

62х₁ + 37х₂ ≤2294

53х₁ + 42х₂ ≤ 2226

25х₁ + 50х₂ ≤ 1250

14х₁ + 30х₂ ≤ 420

х₂ ≥ 0

х₁ ≥ 0