Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «вычислительная математика»

Лабораторная работа №1

Нахождение корней нелинейных уравнений

В таблице 1 даны варианты заданий алгебраических уравнений вида f(x)=0 (уравнение 1) и трансцендентных уравнений (уравнение 2).

Таблица 1

№ варианта	Уравнение 1	Уравнение 2
	х3 – 3х2 + 9х – 8=0	x – sin x=0,25
	х3 –6х – 8=0	tg(0,58x + 0,1)=x2
	х3 – 3х2 + 6х +3=0	x – cos(0,387x)=0
	х3 – 0,1х2 + 0,4х – 1,5=0	tg(0,4x + 0,4)=x2
	х3 – 3х2 + 9х +2=0	lg x – 7/(2x+6)=0
	х3 + х – 5=0	tg(0,5x + 0,2)=x2
	х3 +0,2х2 + 0,5х – 1,2=0	3x-cosx – 1=0
	х3 + 3х + 1=0	x + lg x= 0,5
	х3 +0,2х2 + 0,5х – 2=0	tg(0,5x + 0,1)=x2
	х3 – 3х2 + 12х – 9 =0	x2+4sin x = 0
	х3 – 0,2х2 + 0,3х – 1,2=0	ctg 1,05x – x2=0
	х3 – 3х2 + 6х – 2=0	tg(0,4x + 0,3)=x2
	х3 – 0,1х2 + 0,4х – 1,5=0	xlg x – 1,2=0
	х3 + 3х2 + 6х – 1=0	1,8x2 – sin 10x – 0,1=0
	х3 +0,1х2 + 0,4х – 1,2=0	ctg x – x/4=0
	х3 +4х – 6=0	tg(0,3x + 0,4)=x2
	х3 + 0,2х2 + 0,5х +0,8=0	x2 – 20sin x + 1=0
	х3 – 3х2 + 12х – 12=0	ctg x – x/3=0
	х3 – 0,2х2 + 0,3х +1,2=0	tg(0,47x + 0,2)=x2
	х3 –2х +5=0	x2 +4sin x =0

Требуется:

• Построить на ЭВМ графики функций y=f(x) для локализации корней (в Excel или Mathcad)

• Выбрать любой корень в каждом из уравнений (1) и (2)

• Самостоятельно определить промежуток для уточнения корня

• Вычислить выбранные корни разными методами

• Выяснить вид сходимости в методе итераций (монотонное или двухстороннее приближение к корню).

Рекомендация: если в методе итераций получается расхождение (не выполняется условие сходимости), выразите из уравнения f(x)=0 другое Х, например:

Пример выполнения.

Решить уравнения:

(1)

(2)

=19,07267; =86,59282; =-237,0059; =-1697,081;

с помощью методов: комбинированного, деления пополам, секущих, итераций.

Решение.

Построим графики исходных функций для определения интервалов нахождения корней.

Составим программу на языке Pascal в среде Delphi 7 для нахождения корней уравнений.

unit sss111;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, ExtCtrls;

type

TForm1 = class(TForm)

Image1: TImage;

procedure Image1Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

const a1=19.07267; a2=86.59282;

a3=-237.0059; a4=-1697.081;

a=10; b=12;

var

Form1: TForm1;

x,x2,l,p,f,f2:real;

i:integer;

st:string;

implementation

{$R *.dfm}

function y(k:real):real;

begin

y:=2*ln(abs(k))-(k/2)+1;

end;

function yp(k:real):real;

begin

yp:=2/abs(k)-1/2;

end;

function yn(k:real):real;

begin

yn:=k*k*k*k+a1*k*k*k+a2*

sqr(k)+a3*k+a4;

end;

function ynp(k:real):real;

begin

ynp:=4*k*k*k+3*a1*sqr(k)+2*a2*k+a3;

end;

function w(k:real):real;

begin

w:=4*ln(abs(k))+2;

end;

function wn(k:real):real;

begin

wn:=(k*k*k*k+a1*k*k*k+a2*sqr(k)+a4)/-a3;

end;

procedure TForm1.Image1Click(Sender: TObject);

begin

with Image1.Canvas do

begin

x:=a;

x2:=b;

repeat

x:=x-(y(x)/(y(x2)-y(x)))*(x2-x);

x2:=x2-y(x2)/yp(x2);

until x2=x;

str(x:30:20,st);

textout(10,10,'Комбинированный метод:'+st);

x:=a;

x2:=b;

repeat

x2:=x;

x:=w(x);

until x2=x;

str(x:30:20,st);

textout(10,25,'Метод итераций:'+st);

x:=a;

x2:=b;

repeat

l:=(x+x2)/2;

p:=y(l);

if p=0 then

begin

str(l:30:20,st);

textout(10,40,'Метод половинного деления:'+st);

i:=1;

break;

end else

f:=y(x);

f2:=y(x2);

if f*p<0 then x2:=l

else x:=l;

until x2-x<=0.00000000001;

if i<>1 then begin

str(l:30:20,st);

textout(10,40,'Метод половинного деления:'+st); end;

x2:=b;

x:=x2-y(x2)/yp(x2);

i:=0;

repeat

if frac(i/2)=0 then begin if i=0 then

p:=x2 else p:=x; end;

x:=x-y(x)*(x-p)/(y(x)-y(p));

i:=i+1;

until x-x=0;

str(l:30:20,st);

textout(10,55,'Метод секущих:'+st);

end;

end;

end.

Протокол.

Для уравнения (1) для первого и второго интервалов соответственно:

Для уравнения (2) для первого и второго интервалов соответственно:

Содержание отчета:

1. Графики функций,

2. увеличенный фрагмент графика для пояснения метода решения,

3. таблицы промежуточных значений (в таблицы заносятся изменение интервала [a;b], значения корней, функций и производных в нужных точках, абсолютные погрешности);

4. Относительные погрешности найденных корней Х и абсолютные погрешности функции (отличие от 0) в найденных точках;

5. Выводы.

Контрольные вопросы:

1. Перечислите методы отделения корней.

2. Метод половинного деления.

3. Метод хорд.

4. Метод касательных.

5. Упрощенный метод касательных.

6. Комбинированный метод хорд и касательных.

7. Метод секущих.

8. Метод итерации.

9. Что такое функция сжатия?

10. Скорость достижения требуемой точности в разных методах.

11. Надежность методов.

Лабораторная работа №2