Глава 1. Натуральные числа

§1. Десятичная система счисления.

• Понятие «Натуральные числа» вводится на уровне примера.

• Понятие «Римская нумерация чисел» вводится на уровне примера.

• Понятие «Сумма разрядных слагаемых» вводится на уровне примера.

• Понятие «Позиционный способ записи числа» вводится на уровне примера

• Понятие «Десятичная система счисления» вводится на уровне описания

§2. Числовые и буквенные выражения.

• Понятие «Числовые выражения» вводится на уровне примера

• Понятие «Буквенные выражения» вводится на уровне примера

§7. Координатный луч

• Координатный луч геометрическая модель изображения Натуральных чисел

§8. Округление натуральных чисел

• Обучение применению действия округление над натуральными числами

§9. Прикидка результата действия

• Понятие «Прикидка результата действия» вводится на уровне примера

§10. Вычисления с многозначными числами

• Правила записи многозначных чисел при сложении или вычитании в столбик:

«При сложении и вычитании многозначные числа записывают в столбик так, чтобы цифры одноимённых разрядов были записаны друг под другом»

§13. Законы арифметических действий

• Введение свойства - переместительный закон сложения:

«От перемены мест слагаемых сумма не меняется»

• Введение свойства - сочетательный закон сложения

«Если к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, то получится то же число, что и от прибавления к первому слагаемому суммы второго и третьего слагаемых»

• Введение свойства - переместительный закон умножения:

«От перемены мест множителей произведение не меняется»

• Введение свойства - сочетательный закон умножения:

«Если произведение двух множителей умножить на третий множитель, то получится то же число, что и от умножения первого множителя на произведение второго и третьего множителей»

• Введение свойства – распределительный закон арифметических действий:

«Сумму двух или нескольких произведений, содержащих одинаковый множитель, можно заменить произведением этого множителя на сумму остальных множителей»

§14. Уравнения

• Введение правила «На 0 делить нельзя!»

§15. Упрощение выражений

• Понятие «Упрощение выражения» вводится на уровне примера и описания

• Обучение применению законов арифметических действий

Глава 2. Обыкновенные дроби

§18. Деление с остатком

• Введение понятия «Неполное частное» строго через определение:

«Неполное частное-результат деления при делении с остатком»

• Понятие «Остаток» на уровне примера.

• Введение правила «Остаток всегда меньше делителя»

• Введение понятий «Чётное число» и «Нечётное число» строго через определение:

«Числа, которые делятся на 2 без остатка - четные, остальные - нечетные»

§19. Обыкновенные дроби

19.1 Дробь как результат деления натуральных чисел

• Введение записи частного от деления натуральных чисел в виде дроби.

• Введение терминов «Числитель» и «Знаменатель»:

«Числитель дроби – это делимое, знаменатель – делитель»

19.2 Дробь как одна или несколько равных долей

• Введение двух способов получения дроби:

«1) Чтобы получить дробь m/n, надо 1 разделить на n равных частей (долей) и взять m таких долей;

2) Чтобы получить дробь m/n, надо число m разделить на число n»

§20. Отыскание части от целого и целого по его части

• Введение правила нахождения части от целого:

«Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на числитель дроби, которое выражает эту часть»

• Введение правила нахождения целого по его части:

«Чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть»

§21. Основное свойство дроби

• Введение основного свойства дроби:

«1) Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (кроме 0), величина дроби не изменится;

2) Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (кроме 0), величина дроби не изменится»

• Введение преобразования «Сокращение дроби»

• Введение действия «Приведение дробей к общему знаменателю»

§22. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

• Введение понятия «Правильная дробь» строго через определение:

«Правильная дробь-это дробь, у которой числитель меньше знаменателя»

• Введение понятия «Неправильная дробь» строго через определение:

«Неправильная дробь-это дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему»

• Понятие «Смешанные числа» вводятся на уровне примера

§24. Сложение и вычитание обыкновенных дробей

• Введение правила «Сложение дробей с одинаковыми знаменателями»:

«Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения»

• Введение правила «Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями»:

«Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить без изменения»

• Введение понятия «Дополнительный множитель» строго через определение:

«Дополнительный множитель-это число, которое надписывают над дробью»

§25. Сложение и вычитание смешенных чисел

• Обучение применению сложение и вычитание смешенных чисел

§26. Умножение и деление обыкновенной дроби на натуральное число

• Введение правила «Умножение обыкновенной дроби на натуральное число»:

«Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число»

• Введение правила «Деление дроби на натуральное число»

«Если числитель дроби делится на натуральное число n, то чтобы разделить эту дробь на n, надо её числитель разделить на это число;

Если числитель дроби не делится на натуральное число n, то чтобы разделить эту дробь на n, надо её знаменатель умножить на это число»

Глава 4. Десятичные дроби

§38. Понятие десятичной дроби. Чтение и запись десятичных дробей.

• Введение правил чтения десятичных дробей.

• Введение новой записи числа (через запятую).

• Понятие «Десятичная дробь» вводится на уровне описания.

§39. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

• Введение правила умножения и деления десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.:

«1) Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо запятую перенести вправо на 1,2,3 и т.д. цифры, а если цифр не хватает, приписать справа нули;

2) Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо запятую перенести влево на 1,2,3 и т.д. цифры, а если цифр не хватает, приписать слева нули».

§41. Сравнение десятичных дробей.

• Введение правил округления десятичных дробей:

«1) При округлении десятичной дроби до разряда единиц, десятых, сотых и т.д. все цифры последующих разрядов отбрасываются;

2) При округлении дроби до разряда, старше разряда единиц, цифры последующих разрядов целой части числа заменяются нулями, цифры дробной части – отбрасываются;

3)Цифра разряда, до которого выполняется округление, остается без изменения, если в округляемом числе за ней следовала одна из цифр: 0,1,2,3,4. В остальных случаях к ней прибавляется 1».

§42. Сложение и вычитание десятичных дробей.

• Введение правил сложения и вычитания десятичных дробей:

«Сложение десятичных дробей, так же как и сложение натуральных чисел, выполняется поразрядно».

§43. Умножение десятичных дробей.

• Введение правила умножения десятичных дробей:

«При умножении десятичных дробей сначала надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятую, а затем в произведении отделить запятой справа столько знаков, сколько их имеется после запятой в обоих множителях вместе».

• Введения понятия «Взаимно обратные числа» строго через определение:

«Числа произведение которых равно1, называют взаимно обратными числами».

§44. Степень числа.

• Введение понятия «Степень числа» через конструктивное определение:

«Выражение a^n называют степенью числа, где а – основание степени, а n – показатель этой степени»

§45. Среднее арифметическое. Деление десятичной дроби на натуральное число.

• Введение понятия «Среднее арифметическое» строго через определение:

«Средним арифметическим чисел называют сумму этих чисел, деленную на число слагаемых».

• Введение правила деления десятичной дроби на натуральное число:

«Десятичная дробь – это число, записанное в десятичной системе счисления позиционным способом, поэтому деление в столбик выполняется по тем же правилам, что и деление натуральных чисел».

§46. Деление десятичной дроби на десятичную дробь.

• Введение правила деления числа на десятичную дробь:

« Деление на десятичную дробь заменяется делением на натуральное число. Для этого нужно и в делимом, и в делителе перенести запятую на столько знаков вправо, сколько их содержится после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число. Если в делимом не хватает знаков, то справа приписывают нули».