21.Сумма случайных событий. Теорема сложения вероятностей. Произведение случайных событий. Теорема умножения вероятностей

Вероятность суммы случайных событий

 Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

Вероятность суммы двух совместных событий выражается формулой: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Теорема сложения вероятностей формулируется следующим образом.

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий

Произведение двух случайных событий А и В называют событие А*В, состоящее в совместном появлении этих событий(Логическое И). Например, если деталь А- годная, деталь В- окрашеная, то АВ- деталь годна и окрашена. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А,В,С- появление герба соответсвенно в первом, 2-ом и 3-ем бросании монеты, то А*В*С выпадение герба во всех трех испытаниях. 

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.

Событие   называется независимым от события  , если вероятность события   не зависит от того, произошло событие  или нет. Событие   называется зависимым от события  , если вероятность события   меняется в зависимости от того, произошло событие   или нет.

Вероятность события  , вычисленная при условии, что имело место другое событие  , называется условной вероятностью события   и обозначается   .

Условие независимости события   от события   можно записать в виде:

а условие зависимости - в виде:

Следствие 1. Если событие   не зависит от события  , то и событие   не зависит от события   .

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так.

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:

то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

22.Полная группа событий, вероятность хотя бы одного события. Формула полной вероятности. Формула Байеса и ее применение.

Полная группа событий А, Л2, 1, Ап называется полной группой несовместных событий, если в результате данного испытания обязательно произойдет одно и только одно событие данной группы. [1]

Полная группа событий - это несколько событий, из которых в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них, например, выпадение герба или цифры при бросании монеты. [2]

Полная группа событий - такая группа событий, в которой хотя бы одно событие обязательно появится в результате эксперимента.

Вероятность появления хотя бы одного события

Вероятность появления события А заключающееся в наступлении хотя бы одного из независимых совокупностей событий .А₁,А₂…А_n равна разности между единицей и произведением вероятности противоположных событий А₁,А₂…А_n

Р(А)=1-q¹*q²*…*qⁿ

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий  , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события Авычисляется по формуле

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.