8. Минимизировать функцию методом сопряженных направлений, заканчивая вычисления при , где .

• Итерация 1. Шаг 1. Рассмотрим произвольную начальную точку и систему линейно независимых направлений и . Шаг 2. Минимизируем функцию в направлении . Минимум функции достигается при в точке . Минимизируем функцию в направлении . Минимум функции достигается при в точке . Минимизируем функцию в направлении . Минимум функции достигается при в точке . Шаг 3. Проверим условие . Шаг 4. Введем новую систему линейно независимых направлений: . Определим сопряженное направление по теореме о свойстве параллельного подпространства:

• Итерация 2. Шаг 1. Продолжим поиск из точки . Шаг 2. Минимизируем функцию в направлении . Минимум функции достигается при в точке . Минимизируем функцию в направлении . Минимум функции достигается при в точке . Минимизируем функцию в направлении . Минимум функции достигается при в точке . Шаг 3. Проверим условие . Шаг 4. Заданная точность достигнута.

Ответ: при .

9. Провести анализ определенности квадратичной формы:

• Для положительной определенности квадратичной формы – матрицы А – по критерию Сильвестра необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры матрицы А были положительны.

• Так как дана квадратичная функция, то матрица А совпадает с матрицей Гессе. Вычислим градиент и матрицу Гессе:

• Вычислим все угловые миноры матрицы А:

• Условие положительности, отрицательности, неположительности и неотрицательности всех угловых миноров матрицы А не выполняется и следовательно, данная квадратичная форма не является положительно определенной, отрицательно определенной, отрицательно полуопределенной и положительно полуопределенной.

Ответ: квадратичная форма не является положительно и отрицательно определенной и полуопределенной.

10. Показать, что точка минимума выпуклой квадратичной функции находится с помощью одной итерации метода Ньютона из произвольного начального приближения.

• Выпуклая квадратичная функция задается уравнением: , где матрица А положительно определена. Пусть задана произвольная начальная точка . Покажем, что точка минимума данной целевой функции находится с помощью одной итерации метода Ньютона из точки .

• Известно, что градиент выпуклой квадратичной функции , а матрица Гессе . Применим итерационную формулу метода Ньютона:

• Убедимся, что найденное решение действительно является точкой минимума и за одну итерацию, было найдено верное решение. Для этого проверим условие стационарности точки: (матрица А положительно определена по условию). Проверяем: , что и требовалось показать.