4.8. Метод узловых напряжений

Методом узловых напряжений называют метод расчета электрических цепей, в котором в качестве независимых переменных используются независимые напряжения узлов, определяемые относительно некоторого узла, называемого базисным. Искомые напряжения называют узловыми напряжениями и отсчитывают их от искомого узла к базисному. В качестве базисного узла целесообразно выбирать узел, в котором сходится наибольшее количество ветвей.

Рассмотрим метод узловых напряжений на примере схемы рис. 4.12. Эту схему можно рассматривать как предыдущую (рис. 4.11), в которой источники напряжения заменены эквивалентными источниками тока, а комплексные сопротивления – комплексными проводимостями.

Очевидно, что напряжения всех ветвей могут быть выражены через узловые напряжения. Если принять потенциал базисного узла равным нулю, то узловые напряжения будут равны потенциалам узлов. Поэтому метод узловых напряжений называют также методом узловых потенциалов.

Согласно первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3 имеем:

;

;

.

Выразим токи ветвей через узловые напряжения:

;

;

;

;

.

Подставим эти соотношения в уравнения баланса токов. После приведение подобных членов получим:

;

;

.

Мы получили уравнения баланса токов, выраженные через узловые напряжения. Такие уравнения называют узловыми уравнениями.

Введем ряд новых понятий. Собственной проводимостью i-го узла Y_ii будем называть сумму комплексных проводимостей ветвей, сходящихся в узле. Для нашей цепи

;

;

.

Взаимной или общей проводимостью двух узлов Y_ij будем называть взятую со знаком минус сумму проводимостей всех ветвей, подключенных непосредственно между этими узлами. Для нашей цепи

;

;

.

Если в цепи нет ветвей, подключенных непосредственно между i-м и j-м узлом, то Y_ij = 0.

Узловым током i-го узла J_iу будем называть алгебраическую сумму токов всех источников тока, подключенных к i-му узлу. В нашей цепи

;

;

.

Используя введенные обозначения, представим узловые уравнения в канонической форме записи, обобщив их на случай цепи, содержащей q узлов:

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙;

Решив эту систему уравнений любым из способов, определим искомые узловые напряжения. Запишем решение системы узловых уравнений для k-го узла цепи. В соответствии с формулами Крамера

,

где Δ – определитель системы узловых уравнений;

Δ_k – определитель, полученный из определителя системы путем замены k-го столбца свободными членами узловых уравнений.

Разложив определитель Δ_k по элементам k-го столбца, получим:

, (4.3)

где Δ_ik – алгебраическое дополнение элемента ik.

Отметим характерные особенности метода узловых напряжений:

• число уравнений, входящих в систему электрического равновесия, равно q – 1;

• система узловых уравнений имеет регулярную структуру, что облегчает ее решение машинными методами.

На практике расчет цепей методом узловых напряжений сводится к следующим действиям:

• выбираем базисный узел и вводим узловые напряжения, отсчитываемые по отношению к базисному узлу;

• составляем узловые уравнения цепи;

• решаем полученную систему уравнений относительно узловых напряжений;

• определяем напряжение на ветвях.

Общие замечания к методам контурных токов и узловых напряжений:

1. Оба метода имеют строгие алгоритмы, приводят к уравнениям с регулярной структурой, что создает благоприятные предпосылки для автоматизации расчета этими методами.

2. При выборе метода предпочтение следует отдать тому, который приводит к меньшему числу уравнений. При выборе метода следует также учитывать, что узлы определяются просто и однозначно, в то время как независимые контуры однозначно определить нельзя (узлы задаются схемой, а независимые контуры выбираем мы сами). В этом смысле метод узловых напряжений имеет преимущество, что обусловливает его более широкое применение.

3. При решении задачи методом контурных токов все независимые источники тока целесообразно преобразовать в эквивалентные источники напряжения, а при решении задачи методом узловых напряжений все независимые источники напряжения целесообразно преобразовать в эквивалентные источники тока.

4. Если в цепи имеются зависимые источники, то при использовании метода контурных токов их следует преобразовать в источники напряжения, управляемые током, а при использовании метода узловых напряжений – в источники тока, управляемые напряжением.

5. Контурные токи и узловые напряжения каждые в отдельности несут полную информацию о цепи. Это означает, что если известны контурные токи или узловые напряжения, то можно определить напряжения и токи любой ветви. Контурные токи и узловые напряжения называют определяющими координатами, а методы их определения – методами определяющих координат.