4.7. Метод контурных токов

Метод контурных токов основан на топологической особенности электрических цепей, заключающийся в том, что токи всех ветвей могут быть выражены через токи главных ветвей, под которыми будем понимать ветви, входящие только в один независимый контур.

Для схемы, рассмотренной в предыдущем параграфе (рис. 4.11), главными являются ветви 1, 2 и 3. Выразим токи , , через токи главных ветвей , , :

,

,

.

Подставим полученные выражения в уравнение баланса напряжений в контурах:

,

,

.

Приведем подобные члены:

,

,

.

Рассмотрим величины, входящие в эти уравнения. Члены , и представляют собой суммарное напряжение на элементах контуров, вызванное током главной ветви, если бы он замыкался в главном контуре. Такой ток будем называть контурным током и обозначать , а сумму сопротивлений контура будем называть собственным сопротивлением контура и обозначать z_ii. Тогда

,

,

.

Взаимным или общим сопротивлением двух контуров будем называть сопротивление z_ij, равное сумме сопротивлений ветвей, входящих в оба контура. Очевидно, что z_ij = z_ji. Если i-й и j-й контуры не имеют общих ветвей, то z_ij = 0. В схеме рис. 4.11

,

,

.

Взаимные сопротивления входят в уравнение со знаком минус, если контурные токи протекают в них во встречных направлениях. Если бы контурные токи протекали через взаимные сопротивления в одном направлении, то взаимные сопротивления вошли бы в уравнения со знаком плюс.

Алгебраическую сумму ЭДС всех источников напряжения, входящих в контур, будем называть контурной ЭДС и обозначать E_iк. В схеме рис. 4.11

,

,

.

Уравнения баланса напряжений, выраженные через контурные токи, называют контурными уравнениями.

Используя введенные обозначения, представим контурные уравнения в канонической форме, обобщив их на случай n-контурной схемы:

Запишем решение системы контурных уравнений для m-го контурного тока. Согласно формуле Крамера

,

где Δ – определитель системы уравнений, составленный из коэффициентов при неизвестных контурных токах;

Δ_m – определитель, полученный из Δ путем замены m-го столбца свободными членами уравнений.

Разложив определитель Δ_m по элементам m-го столбца, получим

. (4.2)

где Δ_im – алгебраическое дополнение элемента определителя системы.

Характерные особенности метода контурных токов:

• число уравнений, входящих в систему электрического равновесия, равно p – q + 1;

• система уравнений электрического равновесия имеет регулярную структуру, что облегчает ее решение машинными методами.

На практике расчет цепи методом контурных токов сводится к следующей последовательности действий:

• выбираем независимые контуры, число которых n = p – q + 1;

• вводим контурные токи и выбираем их условно положительные направления;

• составляем контурные уравнения. Направления обхода выбираем совпадающими с контурным током. Если контурные токи в общем сопротивлении протекают в одном направлении, то общее сопротивление входит в уравнение со знаком плюс, если встречно – то со знаком минус;

• решаем полученную систему уравнений относительно контурных токов;

• определяем токи в ветвях;

• определяем напряжения на элементах цепи.