4. Методы расчета электрических цепей в установившихся режимах

4.1. Эквивалентное преобразование участка цепи с последовательным соединением элементов

Два участка электрической цепи называют эквивалентными, если при замене одного из них другим токи и напряжения в остальной части цепи не изменяются. Рассмотрим неразветвленную электрическую цепь, содержащую k сопротивлений, l индуктивностей, m емкостей и n источников на пряжения (рис. 4.1).

В соответствии со вторым законом Кирхгофа

Приведем подобные члены:

,

где

, , , .

Полученное уравнение соответствует цепи, изображенной на рис. 4.2. Таким образом, ток и напряжение на зажимах последовательной цепи не изменятся, если заменить ее эквивалентной схемой, параметры которой определены в соответствии с приведенными формулами.

Если рассматриваемая цепь находится под гармоническим воздействием, то последовательно соединенные R_эк, L_эк, и C_эк можно заменить одним комплексным сопротивлением

.

Согласно закону Ома и второму закону Кирхгофа

.

Полученному уравнению соответствует схема рис. 4.3, содержащая одно комплексное сопротивление Z_эк.

4.2. Эквивалентное преобразование участка цепи с параллельным соединением элементов

Рассмотрим параллельную электрическую цепь, содержащую k сопротивлений, l индуктивностей, m емкостей и n источников тока (рис. 4.4).

Согласно первому закону Кирхгофа

.

Приведем подобные члены. Тогда

,

где

; ; ; .

Полученному уравнению соответствует цепь, изображенная на рис. 4.5. Эта цепь эквивалентна исходной.

Если рассматриваемая цепь находится под гармоническим воздействием, то параллельно соединенные R_эк, L_эк, C_эк можно заменить одной комплексной проводимостью

.

Тогда уравнение электрического равновесия цепи можно записать в виде:

.

Этому уравнению соответствует схема рис. 4.6, содержащая одну комплексную проводимость.

Электрические цепи со смешанным соединением пассивных элементов могут быть преобразованы путем последовательного преобразования участков цепи с параллельным и последовательным соединением и в конечном итоге заменены одним комплексным соединением.

4.3. Эквивалентные преобразования треугольника в звезду и звезды в треугольник

П усть задан участок цепи, содержащий три двухполюсника, соединенные треугольником (рис. 4.7). Покажем, что треугольник может быть преобразован в эквивалентную звезду, и определим ее параметры.

Итак, даны z₁₂, z₂₃, z₃₁. Требуется найти такие z₁, z₂, z₃, чтобы при замене треугольника звездой, токи и напряжение в остальной части цепи не изменились.

Составим систему уравнений электрического равновесия для исходной цепи (треугольника). Поскольку схема содержит три узла, то по первому закону Кирхгофа можно составить два независимых уравнения. Для узлов 1 и 2 имеем

;

.

Дополним эти соотношения уравнением, составленным по второму закону Кирхгофа для контура треугольника:

.

Выразим из 1-го и 2-го уравнения токи и , подставим их в 3-е уравнение, разрешив которое относительно тока , получим:

.

Напряжение между узлами 1 и 2 в треугольнике

.

То же напряжение для соединения звездой

.

Но согласно условию эквивалентности напряжения между узлами 1 и 2 в обеих схемах должны быть одинаковы. Тогда

.

Это равенство должно выполнятся при любых значениях и , что возможно, если

;

; (4.1)

.

Первые два соотношения следуют непосредственно из уравнения, а третье может быть получено аналогично первым двум, если рассмотреть другую пару узлов.

Итак, комплексное сопротивление луча звезды равно произведению комплексных сопротивлений прилегающих сторон треугольника, деленному на сумму комплексных сопротивлений трех сторон треугольника.

При эквивалентном преобразовании звезды в треугольник, известными являются комплексные сопротивления лучей звезды z₁, z₂, z₃, а требуется найти комплексное сопротивление сторон треугольника z₁₂, z₂₃, z₃₁. Это можно сделать, разрешив систему уравнений (4.1) относительно z₁₂, z₂₃, z₃₁. В результате получим

;

;

.

Преобразование треугольника в звезду и звезды в треугольник позволяет в ряде случаев существенно упростить расчеты.