5. Как моделируются ситуации «конкуренция» и «сосуществование» в эко­системе? к каким выводам можно прейти, используя математические модели?

При сосуществовании и конкуренции различные виды не питаются одной и той же пищей, не поедают друг друга, размножаются в разных местах. Тогда уравнение для численности записывается так: dn/dt=a₁n-b₁n², dm/dt=a₂m-b₂m². Ситуация усложняется, если все виды живут или пытаются за счет одного и того же источника пищи или зависят от одних и тех же жизненных условий. Например, растения, извлекающие фосфор из почвы. При этом они закрывают листьями другие, лишая их солнечного света, или птицы, которые строят гнезда в одних и тех же дуплах и т.д. Математически это соответствует установления генерации в лазере или автокатаклической реакции между двумя группами молекул. Решение показывает, что выживает только один тип, наиболее приспособленный. Это выживание может быть доступно улучшением индивидуальных констант или адаптацией. Если перекрываются источники пищи N, M:

Dn/dt=γ₁(N₀-N)-μ₁₁n- μ₁₂m, dm/dt= γ₁₂(M₀-M)- μ₂₁m- μ₂₂n;

Где γ₁N₀ и γ₂M₀- скорость поступления пищи, а (-γ₁N) и (-γ₂M)- убыль пищи за счет внутренних причин типа гниение. Рассматривая правые части уравнения (силы) в плоскости n,m, можно найти условия, при которых возможно сосуществование. Обобщение на случай многих видов и источников пищи производится аналогично. Поэтому понятно, какую экологическую роль играют экологические ниши для выживания видов и почему виды так приспособлены к ним. Примером такого сосуществования служит распределение растительности по высоте, что изучается специально в биогеографии. Эта модель проста, но позволяет сделать оценки относительно динамики популяций при введении еще одного параметра, отвечающего за появление еще одного вида.

6. Как моделируется ситуация «хищник-жертва»? к каким выводам можно прейти, используя математическую модель?

В любом биогеоценозе взаимодействие между его элементами: особи одного вида взаимодействуют с особями и своего вида и других видов. Эти взаимодействия могут быть мирными, а могут иметь связь типа «хищник-жертва». Было замечено, что численность хищных рыб колеблется в обратной пропорции относительно колебаний численности мелких рыбешек, которые служат им пищей. Анализ этих колебаний позволил математику Вито Вольтера вывести необходимые уравнения в 1926 г. Если бы в биогеоценозе была только два вида (очень большое упрощение), то даже в этом случае динамика численности одного из видов отличалась бы от картины их независимого существования.

Примером анализа таких структур может служить эволюция численности зайцев и волков, которая характеризуются колебаниями во времени. Изменение численности животных установлено по числу заготовленных шкурок. Абстрагируясь от различных обстоятельств, так или иначе влияющих на число зверей, можно проанализировать важнейшую зависимость: зайцы едят – траву, а волки – зайцев. Если бы жили одни зайцы, и корма было достаточно, то их численность росла бы по экспоненциональному закону, а если бы жили только волки, то они вымирали бы по тому же закону. При их совместимом существовании изменение численности зайцев и волков связано с частотой их столкновений, т.е. пропорциональна количеству тех и других с некоторым коэффициентом. Уже эти соображения приведут к системе уравнений, и при определенных условиях система «хищник-жертва» придет в равновесие.

В случае неожиданной флуктуации (смерть волка или зайца и т. Д.) равновесие нарушается, и система приходит в движение. Она ведет себя как колебательная система, численности «хищников» и «жертв» начинают колебаться синфазно, с отставанием.