1. Что такое "научная программа"? Как развивалась математическая научная программа? Каково значение математического моделирования в естествознании?

Понятие научной программы сформировалось в современной литературе по методологии науки. Научная программа носит всеобщий характер, претендует на всеобщий охват и объяснение всех явлений действительности. Создаваемая в рамках философии, она отлична от философской системы, так как помимо характеристики предмета исследования, нужно определить и возможность методов, без которых заявленные в программе общие мировоззренческие принципы, не будут проверены эмпирически, т.е. не станут теорией. Научные программы задают определённую картину мира, идеал научного объяснения и организации знания, положения, которые считаются доказанными или достоверными.

Математическая программа выросла из философии Пифагора и Платона, она начала развиваться уже в античные времена. В основе программы лежит представление о Космосе как упорядоченном выражении начальных сущностей, которые могут быть разными. Для Пифагора это были числа. Арифметика трактовалась как центральное ядро всего космоса в раннем пифагореизме, а геометрические задачи - как задачи арифметики целых, рациональных чисел, геометрические величины как соизмеримые. Открытие несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали, иррациональности чисел нанесло серьёзный удар не только античной математике, но и космологии, теории музыки и учению о симметрии живого тела. Математика стала строиться уже на основе геометрии, сумевшей геометрически представить отношения, невыразимые с помощью арифметических чисел и отношений. Геометрия Платона определяется как "наука о том, как выразить на плоскости числа, по природе своей неподобные". Геометрия Евклида определила во многом структуру всей науки. Исходные понятия - точка, прямая, плоскость - геометрические фигуры. При этом исходные понятия задаются системой аксиом. Математический анализ, разработанный Ньютоном и Лейбницем, развитие статистических методов анализа, связанных с познанием вероятностного характера протекания природных процессов, способствовали проникновению методов математики в другие естественные науки.

Главное достоинство математики в том, что она может служить как языком естествознания, так и источником моделей природных процессов. А в чём "непостижимая эффективность математики" в естественных науках - вопрос дискуссионный. Использование ЭВМ для облегчения умственного труда подняло метод моделирования на уровень наблюдения и эксперимента как основных средств познания. ЭВМ при работе с любыми входными воздействиями перед совершением операции приводит их к "одному знаменателю", представляя их в виде конечности последовательности цифр - информационной модели. Появились возможности оптимизировать сложные системы и уточнять цели и средства реконструкции действительности.

2.Сформулируйте основные законы классической механики материальной точки. Как моделируется система, состоящая из двух и более материальных точек? Приведите примеры задач, в которых можно считать Землю материальной точкой и примеры, в которых - нельзя.

Основу классической механики составляют три закона, названные законами Ньютона. Первый закон: тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока на него не оказывают воздействие другие тела. Способность тела сопротивляться воздействию на него сил называют инертностью, поэтому первый закон Ньютона иначе называется законом инерции. Второй закон: ускорение, приобретаемое телом в результате воздействия на него, прямо пропорционально вызывающей его силе и обратно пропорционально массе тела. Третий закон: всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль прямой, соединяющей эти тела.

Если размеры тела много меньше размеров той области пространства, где оно происходит, то тело можно считать материальной точкой. Используется и другая абстрактная модель – система материальных точек, соответствующая протяжённым телам. Если важна связь точек между собой, то получаем модель абсолютно твёрдого тела; если же точки слегка подвижны в этой системе, удобнее модель упругого тела.

Изучая движения Земли вокруг Солнца, Землю можно считать материальной точкой, так как расстояние между Землёй и Солнцем примерно в 25 000 раз больше радиуса Земли. При расчете длины экватора Земли нельзя пренебречь ее размерами, то Землю нельзя считать материальной точкой.