Линейная оптимизационная задача

Рассмотрим задачу планирования производства. Фабрика выпускает два типа строительных материалов А и В. Продукция обоих видов поступает в продажу. Для производства материалов используется два исходных продукта: I и II. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 7 и 9 тонн соответственно. Расходы продуктов I и II на 1 тонну соответствующих материалов приведены в таблице3

. Расход продуктов

Таблица3

Исходный продукт	Расход исходного продукта на 1т. материала		Максимально возможный запас, т
	А	В
I	3	2	7
II	2	3	9

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на материал В не превышает спроса на материал А более чем на 1т. Кроме того, спрос на материал А не превышает 3т. в сутки. Оптовые цены одной тонны материалов равны: 4000 у.е. для материала В и 3000 у.е. для материала А. Какое количество материала каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации был максимальным? Для решения этой задачи необходимо построить математическую модель.

РЕШЕНИЕ

1. Формулировка математической модели задачи:

• Переменные для решения задачи: X₁ – суточный обьем производства материала А;

• X₂ – суточный обьем производства материала B;

• определение функции цели (критерий оптимизации) .Суммарная суточная прибыль от производства X₁ материала А и X₂ материала В равна:

F = 4000X₂ + 3000X₁

• поэтому цель фабрики – среди всех допустимых значений X₂ и X₁ найти такие, которые максимизируют суммарную прибыль от производства материалов F:

F = 4000X₂ + 3000X_{1 MAX}

Ограничения на переменные:

• Обьем производства материалов не может быть отрицательным, т. е.: X₂ ≥ 0, X₁ ≥ 0;

• Расход исходного продукты для производства обоих видов материалов не может превосходить максимально возможного запаса данного исходного продукта, т.е.:

2X₂ + 3X₁ ≤ 7;

3X₂ + 2X₁ ≤ 9.

• Ограничения на величину спроса на материалы:

X₂ - X₁ ≤ 1;

X₁ ≤ 3.

Таким образом получаем математическую модель задачи:

• Найти максимум следующей функции:

F = 4000X₂ + 3000X_{1 MAX}

• При ограничениях вида:

2X₂ + 3X₁ ≤ 7;

3X₂ + 2X₁ ≤ 9;

X₂ – X₁≤ 1;

X₁ ≤ 3;

X₂ ≥0,≥ 0.

2. Переменные задачи X₂ ИX₁ поместим в ячейках С3 и С4. Целевая функция находится в ячейке С6 и содержит формулу:

= 4000 * С4 + 3000 * С3

Ограничения на задачу расположим в диапазоне ячеек С8:D11.

3. Воспользуемся командой Сервис - Поиск решения, вводим необходимые данные для рассматриваемой задачи (установка данных в окне поиск решения приведена на рис 12. Результат работы по поиску решения помещен на рис 13-14.

Рис 12. Рабочий лист MSExcel для решения задачи планирования производства материалов.

Рис.13.

Рис.14. Установка необходимых параметров задачи планирование материалов в окне Поиск решения.

Рис. 14.Результат расчета надстройки Поиск решения.

Описание отчетов о решении задачи.

1. Отчет по результатам приведен на рис.15. Таблица целевая ячейка выводит сведения о целевой функции; таблицаизменяя ячейки показывает значения переменных, полученных в результате решения задачи; таблица ограничения отображает результаты оптимального решения для ограничений и для граничных условий. В поле формула приведены зависимости, которые были выведены в окно Поиск решения, в поле разница – величины используемого материала. Если материал используется полностью, то в поле статус указывается связанное, при неполном использовании материала в этом поле указываетсянесвязан.

2. Отчет по устойчивости приведен на рис. 16. – в таблице изменяемые ячейки приводится результат решения задачи. В таблице ограничения выводятся занчения для ограничений, при которых сохраняется оптимальный набор переменных, входящих в оптимальное решение.

3. Отчет по пределам приведен на рис. 17. – в отчете показано в каких пределах может изменяться количество материалов, вошедших в оптимальное решение, при сохранении структуры оптимального решения; приводятся значения переменных в оптимальном решении, а также нижние и верхние пределы изменения значений переменных, здесь также указаны значения целевой функции при выпуске данного типа продукции на верхнем и нижнем пределах.

Рис. 15.

Рис. 16.

Рис. 17.