2.14 Сурет

Жоғарыда айтылғандарды ескерсек, (2.4.9) теңдеуін былай жазуға болады:

, (2.4.13)

бұл – жазық-параллель қозғалыстағы дене нүктелерінің үдеулерін қосу тура- лы теорема. Сонымен, жазық-параллель қозғалыстағы дененің кез келген нүкте- сінің үдеуі полюстің (А нүктесі) үдеуі мен осы нүктенің (В нүктесі) полюсті айналғандағы центрге тартқыш және айналмалы үдеулерінің векторлық қосындысынан тұрады екен.

В нүктесі үдеуінің модулі

1. Динамикаға кіріспе. Динамика – материялық денелердің қозғалысын оларға әсер ететін күштермен бірге зерттейтін теориялық механиканың бөлімі. Динамикада тек тұрақты күштер ғана емес, сонымен бірге уақытқа (тарту күштері), координатаға (гравитациялық тартылыс күштері, кулондық тартылыс күштері, серпімділік күштері) және жылдамдыққа (ортаның кедергі күштері) тәуелді айнымалы күштер де қарастырылады. Айнымалы күштер тұрақты күштердің заңдарына бағынады, яғни оларды қосуға, жіктеуге болады, олардың моменттері және т.б. болады.

2. Материялық нүкте динамикасы. Материялық нүкте деп қозғалы-сын зерттегенде өлшемдерін ескермеуге болатын материялық денені айтады.

   1. Материялық нүкте динамикасының негізгі заңдары. Ньютонның үш заңы материялық нүкте динамикасының негізгі заңдары болады.

Ньютонның бірінші заңы. Егер материялық нүктеге сырттан ешбір күш әсер етпесе немесе әсер ететін күштер жүйесі нөлге пара-пар болса, онда нүкте тыныштық күйде немесе бірқалыпты және түзу сызықты қозғалыста болады. Ньютонның бірінші заңы орындалатын санақ жүйелері инерциялық санақ жүйелері деп. аталады.

Ньютонның екінші заңы (динамиканың негізгі заңы). Материялық нүктенің үдеуі оған әсер етуші күшке тура пропорционал, бағыты күшпен бағыттас. Нүкте массасы пропорционалдық коэффициенті болады.

Бұл заңның математикалық өрнегі: . (3.2.1)

Егер денеге бірнеше күштер әсер етсе бұл заң былай жазылады:

. (3.2.2)

Ньютонның үшінші заңы. Екі материялық нүкте бір-біріне модульдері тең, бір түзудің бойымен қарама-қарсы бағытталған күштермен әсер етеді.

2. Нүкте динамикасының негізгі мәселелері. Материялық нүктенің негізгі мәселелері еркін және еркін емес нүктелер үшін айтылады..

Қозғалысы басқа денелермен шектелмеген нүктені еркін материялық нүкте дейміз. Осындай нүкте үшін динамиканың екі негізгі мәселесі қарастырылады:

Динамиканың бірінші негізгі мәселесі: Нүктенің массасы мен қозғалыс заңын біле отырып, оған әсер ететін күштерді анықтау.

Динамиканың екінші негізгі мәселесі: Нүктенің массасы мен оған әсер ететін күштерді біле отырып, оның қозғалыс заңын анықтау.

Екі мәселе де Ньютонның екінші (3.2.2) заңының көмегімен шешіледі.

Қозғалысы басқа денелермен шектелген нүкте еркін емес материялық нүкте деп аталады. Мұндай нүкте үшін оған әсер ететін барлық актив күштерге реакция күштерін қосу қажет. Оларды бір күшпен белгілейміз. Сонда Ньютонның екінші заңы былай жазылады:

. (3.2.3)

(3.2.3) өрнегімен еркін емес нүкте үшін де динамиканың екі негізгі мәселесі шешіледі:

Динамиканың бірінші негізгі мәселесі: Нүктенің массасын, қозғалыс заңын және оған әсер ететін актив күштерді біле отырып, реакция күштерін анықтау.

Динамиканың екінші негізгі мәселесі: Нүктенің массасын және оған әсер ететін актив күштерді біле отырып, оның қозғалыс заңын және реакция күштерін анықтау.

Нүкте динамиканың бірінші негізгі мәселесінің шешуі. Бұл мәселені шешу үшін Ньютонның екінші заңын құрып, сосын оны координата өстеріне проекциялау керек.

2. Материялық нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін интегралдау. Материялық нүктенің инерциялық санақ жүйесіндегі орнын радиус-векторымен анықтаймыз. Нүктеге әсер ететін күш жалпы жағдайда t уақытқа, нүктенің орнына, яғни радиус-векторға және нүктенің жылдамды- ғына тәуелді бола алады, яғни . Егер нүктенің үдеуі , ал жылдамдығы екенін ескерсек, Ньютонның екінші заңы немесе нүкте динамикасының негізгі теңдеуі былай жазылады:

. (3.2.4)

(3.2.4) – векторлық түрдегі нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеуі .

(3.2.4) теңдеуі декарттық координата жүйесінің өстеріне проекцияланған үш скаляр теңдеуге пара-пар: . (3.2.5)

Нүкте динамикасының екінші мәселесінің шешуі белгісіз x, y, z функцияла- рына қатысты екінші дәрежелі үш дифференциалдық теңдеу жүйесінен тұратын оның қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін интегралдауға тіреледі.

Бұл теңдеулердің жалпы шешімі С₁, С₂, …, С₆ алты интегралдау тұрақтыла- рына тәуелді:

(3.2.6)

Интегралдау тұрақтылары әртүрлі мәнге ие бола алады, сондықтан бірдей күш әсер ететін нүкте түрлі қозғалыс жасай алады. Сонымен, нүкте қозғалысының нақты заңын анықтау үшін тек күштің берілуі жеткіліксіз екен. (3.2.6) шешуі шығарылып отырған нақты мәселеге сәйкес болу үшін қозғалыстың бастапқы шарттарын беру қажет, яғни нүктенің

бастапқы орны мен бастапқы жылдамдығын беру қажет екен.

Декарттық координата жүйесінде сәйкес проекцияларды беру керек. Бастапқы шарттар:

t=0: . (3.2.7)

(3.2.7) бастапқы шарттар (3.2.6) шешулері мен олардың бірінші туындыларына қойылады. Осылай алынған теңдеулерден интегралдау тұрақтылары табылады

(3.2.8)

Табылған тұрақтыларды (3.2.6) жалпы шешімге қойып, берілген бастапқы шарттарға сәйкес келетін есептің шешуін аламыз.

4. Нүкте динамикасының жалпы теоремалары. Нүкте динамикасының есептерін шығарғанда нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін интег- ралдау қажет. Көп жағдайда бұл теңдеулерді интегралдау оңай емес. Сондықтан нүкте динамикасының жалпы теоремаларын пайдаланады. Есеп шығарғанда дифференциалдық теңдеулерді интегралдамай, аталмыш теоремалардың қоры- тынды өрнектерін пайдаланады. Ал дифференциалдық теңдеулер теоремаларды дєлелдегенде интегралданады.

   1. Нүктенің қозғалыс мөлшері. Күш импульсі. Нүкте қозғалысының негізгі динамикалық сипаттамаларының бірі – қозғалыс мөлшері.

Нүктенің қозғалыс мөлшері деп оның массасы мен жылдамдық векторының көбейтіндісіне тең ( ) векторлық шаманы айтады: Қозғалыс мөлшерінің векторы әрқашан нүктенің жылдамдығымен бағыттас болады (3.3 сурет).

Белгілі уақыт аралығындағы күштің нүктеге әсерін күш импульсі дейді.

Күштің элементар импульсі деп күш векторының элементар уақытқа көбейтіндісіне тең векторлық шаманы айтады:

. (3.4.1)

Бұл вектор күштің әсер ету сызығының бойымен бағытталады.

Шекті уақыт аралығындағы күш импульсі 0-ден t₁-ге дейінгі аралықтағы элементар импульстен алынған интегралға тең:

. (3.4.2)

Күш импульсін екі жағдайда санауға болады:

1. Егер күштің сан шамасы мен бағыты тұрақты болса ( ), онда .

2. Егер күш уақытқа тәуелді функция болса.

Егер күш нүктенің орнына немесе жылдамдығына тәуелді болса, күш импульсін санау үшін нүктенің қозғалыс заңын білу қажет.

Есеп шығарғанда күш импульсін координата өстеріне проекциялайды, декарттық координата жүйесі үшін бұл проекциялар былай жазылады:

. (3.4.3)

2. Нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема. Нүкте үдеуінің векторы жылдамдық векторынан уақыт бойынша алынған бірінші туындыға тең екенін ескерсек, нүкте динамикасының негізгі заңын ( ) былай жазуға болады:

. (3.4.4)

(3.4.4) – нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теореманың диффе ренциалдық түрі: нүктенің қозғалыс мөлшерінен уақыт бойынша алынған туынды нүктеге әсер ететін барлық күштердің геометриялық қосындысына тең.

күштері әсер ететін М нүктенің ден –ге дейінгі шекті уақыт аралығында М₀-ден М₁-ге орын ауыстыруын қарастырайық. Оның жылдам- дығы -ден -ге дейін өзгерсін. (3.4.4) теңдеуінің екі жағын да dt-ға көбейтіп, екі жағынан да интеграл алайық:

немесе .

Егер (3.4.2) өрнегін ескеретін болсақ:

. (3.4.5)

(3.4.5) – нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теореманың интег- ралдық (шекті) түрі: шекті уақыт аралығындағы нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі осы уақыт аралығында нүктеге әсер ететін барлық күш импульстерінің геометриялық қосындысына тең.

Есеп шығарғанда (3.4.5) теореманы координата өстеріне проекциялау керек. Декарттық координата жүйесінің өстеріне проекцияласақ:

(3.4.6)

3. Нүктенің қозғалыс мөлшерінің моменті және оның өзгеруі туралы теорема. Кейбір есептерде динамикалық сипаттамалар ретінде нүктенің центрге немесе өске қатысты қозғалыс мөлшерінің моменті қарастырылады.

Нүктенің О центріне қатысты қозғалыс мөлшерінің моменті деп

(3.4.7)

өрнекпен анықталатын векторлық шаманы айтады, мұндағы - нүкте- нің О центріне қатысты радиус-векторы. Бұл вектор векторы мен О центрі арқылы өтетін жазықтыққа перпендикуляр, ұшынан қарағанда векторынан векторына қарай ең жақын бұрылу сағат тіліне қарсы болып көрінетіндей бағыт- талған. Оның сан шамасы , бұл жердегі h – О центрінен М нүктеден траекторияға жүргізілен жанама арасындағы ең жақын ара қашықтық (перпендикуляр).

(3.4.7) векторының өске проекциясы нүктенің өске қатысты қозғалыс мөлшерінің моментін анықтайды. Декарттық координата жүйесінің өстері үшін, күштердің моменттері сияқты, нүктенің x, y және z өстеріне қатысты қозғалыс мөлшерінің моменттерінің аналитикалық өрнектерін жазуға болады:

. (3.4.8)

Бұл теңдеулердегі x, y, z – нүкте координаталары, V_x, V_y, V_z – нүкте жылдам- дығының координата өстеріне проекциялары.

Нүктенің қозғалыс мөлшері моментінің өзгеруі туралы теорема уақыт өткен сайынғы векторының өзгеруін анықтайды. Оны дәріс оқығанда дәлелдейміз.

. (3.4.9)

Бұл теңдеу нүктенің центрге қатысты қозғалыс мөлшері моментінің өзгеруі туралы теореманы білдіреді: нүктенің кез келген О центріне қатысты қозғалыс мөлшері моментінен уақыт бойынша алынған туынды нүктеге әсер ететін күштің осы центрге қатысты моментіне тең.

(3.4.9) векторлық теңдеу үш скалярлық теңдеуге пара-пар.

. (3.4.10)

(3.4.10) теңдеулері нүктенің x, y, z координата өстеріне қатысты қозға- лыс мөлшері моменттерінің өзгеруі туралы теорема болады: нүктенің кез келген өске қатысты қозғалыс мөлшері моментінен уақыт бойынша алынған туынды нүктеге әсер ететін күштің осы өске қатысты моментіне тең.

Қозғалыс мөлшерінің моменті үшін екі сақталу заңы орындалады:

1. Егер әсер ететін күштің бір центрге қатысты моменті нөлге тең болса, онда нүктенің осы центрге қатысты қозғалыс мөлшері моментінің сан шамасы мен бағыты тұрақты болады.

Егер әсер ететін күштің бір өске қатысты моменті нөлге тең болса, онда нүктенің осы өске қатысты қозғалыс мөлшерінің моменті тұрақты болады. Бұл тұжырымды (3.4.10) өрнегі береді

4. Күш жұмысы. Қуат. Нүкте орын ауыстырғандағы күш әсерін сипаттау үшін жұмыс ұғымын қолданады. М нүктесіне әсер ететін күшінің (3.3 сурет) элементар жұмысы деп мына скаляр шаманы айтады

, (3.4.11)

мұндағы - күшінің М жанама өске проекциясы (немесе күшінің М нүктесінің жылдамдығы бағытына проекциясы); ds – М нүктесінің элементар орын ауыстыру модулі.

( - және М арасындағы бұрыш) болғандықтан, (3.4.11) өрнегінен күштің элементар жұмысының тағы бір өрнегін аламыз:

. (3.4.12)

(3.4.12) өрнегінен мынаны тұжырымдаймыз:

1. Егер  бұрышы сүйір болса (0<<90⁰), жұмыс оң таңбалы болады. Ал  = 0 болғанда элементар жұмыс .

2. Егер  бұрышы доғал болса (90⁰ <  < 180⁰), жұмыс теріс таңбалы болады. Ал  = 180⁰ болғанда элементар жұмыс .

3. Егер  = 90⁰ болса, яғни егер күш векторы жүріп өткен жолға немесе жылдамдыққа перпендикуляр бағытталса, күштің элементар жұмысы нөлге тең болады.

Бізге кинематикадан екені белгілі (бұл жердегі - нүктенің элемен- тар орын ауыстыру векторы), сондықтан элементар жұмысты мына түрде жазуға болады: ,

бұл – және векторларының скалярлық көбейтіндісі, яғни

. (3.4.13)

(3.4.13) өрнегін векторлардың проекциялары арқылы да жазуға болады:

, (3.4.14)

мұндағы x, y, z – күшінің түсу нүктесінің координаталары.

(3.4.11), (3.4.12), (3.4.13) және (3.4.14) өрнектерінің бәрі күштің элементар жұмысы.

Күштің кез келген М₀М₁ орын ауыстырудағы жұмысы элементар жұмыс- тан осы орын ауыстыру бойынша алынған интегралға тең.

(3.4.11) – (3.4.14) өрнектеріне сәйкес күш жұмысының төрт түрлі өрнегі:

, (3.4.15)

, (3.4.16)

, (3.4.17)

. (3.4.18)

Барлық жағдайларда интеграл М₀М₁ қисығы бойымен алынады.

Уақыт бірлігі аралығында орындалатын күштің жұмысын анықтайтын шама қуат деп аталады. Егер жұмыс бірқалыпты орындалса, қуат

,

мұндағы t – жұмыс жасалатын уақыт. Жалпы жағдайда

, (3.4.19)

демек, күш қуаты күші мен нүкте жылдамдығының скалярлық көбейтіндісіне тең.

5. Жұмысты есептеу мысалдары. Есеп шығарғанда қолданатын күш жұмысын санау өрнектерін алайық.

1. Ауырлық күшінің жұмысы. Ауырлық күші әсер ететін нүкте бастап- қы М₀ (x₀, y₀, z₀) орнынан М₁ (x₁, y₁, z₁)-ге орын ауыстырсын. Ауырлық күшінің жұмысын (3.4.18) өрнегімен есептейік, сонда

, (3.4.20)

- нүктенің орын ауыстыру биіктігі.

Демек, ауырлық күшінің жұмысы плюс не минус таңбамен алынған ауырлық күші модулі мен вертикаль орын ауыстырудың көбейтіндісіне тең екен. Плюс таңбасы нүкте төмен орын ауыстырғанда, ал минус таңбасы нүкте жоғары қарай орын ауыстырғанда алынады.

2. Серпімділік күшінің жұмысы. Серіппенің бос ұшына бекітілген және горизонталь жазықтықта жатқан М жүгін қарастырайық (3.4 сурет). Координатаның О бас нүктесі етіп созылмаған серіппенің ұшын аламыз ( –деформацияланбаған серіппенің ұзындығы). Егер жүкті О тепе-теңдік орнынан серіппенің ұзындығы болатындай етіп созсақ, серіппе -ге созылады да, жүкке О нүктесіне бағытталған серпімділік күші әсер етеді. 3.5 суретінен екенін көреміз, сондықтан серпімділік күшін былай жазуға болады:

және

мұндағы с – серіппенің серпімділік коэффициенті.

Жүк бастапқы М₀(х₀) орнынан М₁(х₁)-ге орын ауыстырғандағы серпімділік күшінің жұмысын, деп алып, (3.4.18) теңдеуінен анықтаймыз:

.

Бұл өрнектегі х₀ серіппенің бастапқы деформациясы ₀, ал х₁ – соңғы деформациюсы ₁. Сондықтан серпімділік күшінің жұмысын мына түрде жазуға болады:

. (3.4.21)

Демек, серпімділік күшінің жұмысы серіппенің серпімділік коэффициенті мен бастапқы және соңғы деформациялар айырмасы квадратының көбейтіндісінің жартысына тең.

(3.4.21) өрнегі М нүктесінің орын ауыстыруы түзу сызықты болмаса да орын алады. Бұл серпімділік күшінің жұмысы нүкте траекториясының түріне тәуелді емес екендігін көрсетеді.

3. Үйкеліс күшінің жұмысы. Егер нүкте кедір-бұдырлы жазықтықпен қозғалса, оған әсер ететін үйкеліс күшінің модулі f N болады. Бұл жерде f – үйкеліс коэффициенті, ал N – жазықтықтың нормаль реакциясы. Үйкеліс күші қозғалысқа қарсы бағытталғандықтан және (3.4.15) өрнегі бойынша

. (3.4.22)

Егер үйкеліс күші тұрақты болса, онда

, (3.4.23)

s – нүкте қозғалатын М₀М₁ қисығы доғасының ұзындығы.

Сонымен, сырғанау үйкелісі күшінің жұмысы әрқашан таңбалы және нүктенің жүріп өткен жолына тәуелді екен.

4. Тартылыс күшінің жұмысы. Жер беті маңындағы нүктеге әсер ететін тартылыс күшінің жұмысы мына өрнекпен анықталады:

. (3.4.24)

Егер болса бұл жұмыс оң таңбалы, ал болса бұл жұмыс теріс таңбалы болады. Тартылыс күшінің жұмысы нүктенің траекториясына тәуелді емес.

5. Нүктенің кинетикалық энергиясы және оның өзгеруі туралы теорема. Нүкте қозғалысының келесі динамикалық сипаттамасы – кинетикалық энергия.

Нүктенің кинетикалық энергиясы деп оның массасы мен жылдамдығының квадратының көбейтіндісінің жартысына тең скаляр шаманы айтады – .

күштер әсер ететін М материялық нүктені қарастырайық. Ол қисық бойымен жылдамдықпен бастапқы М₀ орнынан, жылдамдықпен М₁-ге орын ауыстырсын.

Нүкте динамикасының негізгі теңдеуін (Ньютонның екінші заңы) қолданып, келесі теңдеуді алуға болады: , (3.4.25)

бұл теңдеу нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманың дифференциалдық түрі деп аталады: нүктенің кинетикалық энергиясының толық дифферен- циалы нүктеге әсер ететін барлық күштердің элементар жұмыстарының қосындысына тең.

Бұл теоремадан (3.4.26)

екенін көреміз, яғни нүктенің кинетикалық энергиясының толық дифференциалы нүктеге әсер ететін барлық күштердің қуаттарының қосындысына тең.

Нүкте бастапқы М₀ орыннан М₁-ге орын ауыстырғанда оның бастапқы жылдамдығы -ден -ге дейін өзгеретінін ескеріп, (3.4.25) теңдеуін интегралдаймыз, сонда:

. (3.4.27)

(3.4.27) теңдеуі нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманың интералдық (шекті) түрін береді: нүкте шекті орын ауыстырғандағы оның кинетикалық энергиясының өзгеруі осы орын ауыстыруда нүктеге әсер ететін барлық күштердің жұмыстарының алгебралық қосындысына тең.

4. Материялық нүкте үшін Даламбер принципі. Материялық нүкте үшін Даламбер принципі нүкте динамикасының есептерін статиканың қарапайым әдістерімен шығаруға мүмкіндік береді.

актив күштері мен реакция күші әсер ететін материялық нүктені қарастырайық. Бұл нүкте үшін динамиканың негізгі заңы: .

Осы заңды былай жазайық:

. (3.5.1)

Мынадай белгілеу енгізейік:

. (3.5.2)

векторы материялық нүктенің инерция күші деп аталады. Оның модулі нүктенің массасы мен үдеуінің көбейтіндісіне тең, ал бағыты үдеу векторына қарсы.

(3.5.2) ескерсек (3.5.1) теңдеуі мынадай түрге келеді:

. (3.5.3)

(3.5.3) өрнегі материялық нүкте үшін Даламбер принципі болады: қозға- лыстағы материялық нүктеге әсер ететін актив күштер, реакция күші және инерция күші теңестірілген күштер жүйесін құрайды. Бірақ материялық нүктеге тек актив күштер мен реакция күші ғана әсер ететін ескеру керек, ал инерция күші нүктеге әсер етпейді, сондықтан да ол жасанды күш.