1 Метод половинного деления

Метод половинного является самым простым и надежным способом решения нелинейного уравнения. Пусть из предварительного анализа известно, что корень уравнения находится на отрезке , т. е. , так, что . Пусть функция непрерывна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. .

Разделим отрезок пополам. Получим точку . Вычислим значение функции в этой точке: . Если , то - искомый корень, и задача решена. Если , то - число определённого знака: , либо . Тогда либо на концах отрезка , либо на концах отрезка значения функции имеют разные знаки. Обозначим такой отрезок . Очевидно, что , и длина отрезка в два раза меньше, чем длина отрезка . Поступим аналогично с отрезком . В результате получим либо корень , либо новый отрезок и т.д.

Середина -го отрезка . Очевидно, что длина отрезка будет равна , а так как , то

. (1)

Критерий окончания. Из соотношения (1) следует, что при заданной точности приближения вычисления заканчиваются, когда будет выполнено неравенство или неравенство . Таким образом, количество итераций можно определить заранее. За приближенное значение корня берется величина .

2 Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Дана система n линейных уравнений с n неизвестными

(1)

Если система имеет единственное решение, то значения могут быть найдены по известным формулам Крамера, но этот способ неудобен и приходится применять приближенные или численные методы решения.

Наиболее распространенным является метод Гаусса, согласно которому путем последовательного исключения неизвестных система (1) приводится к треугольному виду:

(2)

Приведение матрицы системы к виду (2) называется прямым ходом. Вычисление неизвестных – обратным ходом. Необходимость округлять в промежуточных вычислениях приводит к тому, что возникает очень большая погрешность округления, искажающая результат. Существует несколько видов вычислительных схем метода Гаусса, в различной степени уменьшающих погрешность округления. Наиболее эффективной является “схема с выбором главного элемента”.

1. Прямой ход

Исключение неизвестных в прямом ходе осуществляется по этапам. На каждом i-м этапе (i=1, 2, …, n) среди коэффициентов при неизвестном выбираем наибольший по абсолютной величине – “главный элемент”. Строка, его содержащая, называется главной. Затем главную строку прибавляем ко всем остальным строкам, предварительно умножив ее на специально подобранные числа так, чтобы коэффициенты при во всех строках, кроме главной, обратились бы в нуль.

Главная строка i-го этапа в дальнейших преобразованиях не участвует, поэтому для приведения системы (1) к виду (2) нужно проделать исключение неизвестных.