Глава 4. Элементы системы массового обслуживания (смо)
4.1. Формулировка задачи и характеристики смо
Часто на практике приходится сталкиваться с такими ситуациями: очередь покупателей в кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором; ряд станков, вышедших из строя и ожидающих ремонта, и т.д. Все эти ситуации объединяет то обстоятельство, что системам необходимо пребывать в состоянии ожидания. Ожидание является следствием вероятностного характера возникновения потребностей в обслуживании и разброса показателей обслуживающих систем, которые называют системами массового обслуживания (СМО).
Цель изучения СМО состоит в том, чтобы взять под контроль некоторые характеристики системы, установить зависимость между числом обслуживаемых единиц и качеством обслуживания. Качество обслуживания тем выше, чем больше число обслуживающих единиц. Но экономически невыгодно иметь лишние обслуживающие единицы.
В промышленности СМО применяются при поступлении сырья, материалов, комплектующих изделий на склад и выдаче их со склада; обработке широкой номенклатуры деталей на одном и том же оборудовании; организации наладки и ремонта оборудования; определении оптимальной численности обслуживающих отделов и служб предприятий и т.д.
Под системой массового обслуживания (СМО) будем понимать комплекс, состоящий из: а) случайного входящего потока требований (событий), нуждающихся в «обслуживании», б) дисциплины очереди, в) механизма, осуществляющего обслуживание.
Входящий поток. Для описания входящего потока обычно задается вероятностный закон, управляющий последовательностью моментов поступления требований на обслуживание и количеством требований в каждом поступлении (то есть требования поступают либо единичные, либо групповые). Источник, генерирующий требования, считается неисчерпаемым. Требование, поступившее на обслуживание, может обслуживаться сразу, если есть свободные обслуживающие приборы, либо ждать в очереди, либо отказаться от ожидания, то есть покинуть обслуживающую систему.
СМО можно разбить на две группы:
- разомкнутые (источник входящих требований неиссякаемый - поток клиентов в парикмахерские, магазины, звонков на АТС и др.);
- замкнутые (имеют ограниченный поток требований, например, выход прибора из строя и его восстановление).
Дисциплина очереди. Это описательная характеристика. Требование, поступившее в систему обслуживается в порядке очереди – дисциплина очереди: «первым пришел – первым обслужен». Другая дисциплина очереди: «последним пришел – первым обслужен»- это обслуживание по приоритету. Наконец, обслуживание требований может быть случайным.
Механизм обслуживания. Характеризуется продолжительностью и характером процедур обслуживания. Обслуживание может осуществляться по принципу: «на одно требование – один обслуживающий прибор». Если в системе несколько приборов, то параллельно могут обслуживаться несколько требований. Часто используют групповое обслуживание, то есть требование обслуживается одновременно несколькими приборами. В некоторых случаях требование обслуживается последовательно несколькими приборами – это многофазовое обслуживание.
По окончании обслуживания требование покидает систему.
Рис. 4.1
Функционирование
СМО представляется в виде связного
графа ее состояний Сi,
.
Переход системы из состояния Сi
в состояние Сj
графически осуществляется по направленным
отрезкам с заданными интенсивностями
переходов
.
Если переход невозможен, то
.
В стационарном (установившемся) режиме действует принцип равновесия: сумма «входов» в любое состояние равна сумме «выходов» из него. Это позволяет записать уравнения равновесия по каждому из состояний (принцип декомпозиции).
Рис. 4.2
Целью анализа системы массового обслуживания является рациональный выбор структуры обслуживания и процесса обслуживания. Для этого требуется разработать показатели эффективности систем массового обслуживания. Например, требуется знать: вероятность того, что занято или свободно k приборов; распределение вероятностей свободных или занятых приборов от обслуживания; вероятность того, что в очереди находится заданное число требований; вероятность того, что время ожидания в очереди превысит заданное. К показателям, характеризующих эффективность функционирования системы в среднем, относятся: средняя длина очереди; среднее время ожидания обслуживания; среднее число занятых приборов; среднее время простоя приборов; коэффициент загрузки системы и др. Часто вводятся экономические показатели. Разработкой математических моделей, получением числовых результатов и анализом показателей эффективности занимается теория массового обслуживания (ТМО).