1.4. Метод множителей Лагранжа

Постановка задачи

Дана задача нелинейного программирования

при ограничениях:

Предположим, что функции f(x₁, х₂,..., x_п) и g_i(x₁, x₂,..., x_п) непрерывны вместе со своими первыми частными про­изводными.

Ограничения заданы в виде уравнений, поэтому для ре­шения задачи воспользуемся методом отыскания условного эк­стремума функции нескольких переменных.

Для решения задачи составляется функция Лагранжа

где λ_i — множители Лагранжа.

Затем определяются частные производные:

Приравняв к нулю частные производные, получим систему

Решая систему, получим множество точек, в которых целевая функция L может иметь экстремальные значения. Следует отметить, что условия рассмотренной системы являются необходимыми, но недостаточными. Поэтому не всякое полученное решение определяет точку экстремума целевой функции. Применение метода бывает оправданным, когда заранее предполагается существование глобального экстремума, совпадающего с единственным локальным максимумом или минимумом целевой функции.

Пример 8. Найти точку условного экстремума функции

при ограничениях:

Решение. Составим функцию Лагранжа

Найдем частные производные функции Лагранжа по пере­менным x₁, x₂, x₃, λ₁, λ₂. Приравняв к нулю полученные вы­ражения, решим систему

Откуда λ₁ = -x₂, λ₂ = - x₂/2, х₁ = -2, x₂ = -4, x₃ = 4, L = -8.

Определим характер экстремума, изменяя полученные зна­чения переменных. Измененные значения должны удовлетво­рять заданной системе ограничений. Возьмем х₁ > -2, напри­мер x₁ = -1, тогда из системы ограничений получим х₂ = -3, x₃ = 7/2, L = -15/2. Возьмем х₁ < -2, например х₁ = -3, тогда получим х₂ = -5, x₃ = 9/2, L = -15/2. Следовательно, L = -8 — минимальное значение функции.

Ответ. Точка экстремума х₁ = -2, x₂ = -4, x₃ = 4, при этом максимальное значение функции L = -8.

Расчет экономико-математической модели при нелинейных реализациях продукции

Рассмотрим применение выше приведенных методов на примере решения задачи оптимальной реализации продукции.

Пример 9. Мукомольный комбинат реализует муку двумя способами: в розницу через магазин и оптом через торговых агентов. При продаже x₁ кг муки через магазин расходы на реализацию составляют х₁² ден. ед., а при продаже x₂ кг муки посредством торговых агентов — х₂² ден. ед.

Определить, сколько килограммов муки следует продавать каждым способом, чтобы затраты на реализацию были мини­мальными, если в сутки выделяется для продажи 5 000 кг муки.

Решение. Составим математическую модель задачи.

Найдем минимум суммарных расходов

при ограничениях:

Для расчета модели используем метод множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа

Найдем частные производные функции F по x₁, x₂ и λ, приравняем их к нулю, получим систему уравнений

откуда λ = -5 000, x₁ = 2 500, x₂ = 2 500, L = 12 500 000 ден. ед.

Давая х₁ значения больше и меньше 2500, находим L и из определения экстремума функции получаем, что L при х₁ = x₂ = 2 500 достигает минимума.

Таким образом, для получения минимальных расходов не­обходимо расходовать в сутки через магазин и торговых аген­тов по 2 500 кг муки, при этом расходы на реализацию составят 12 500 000 ден. ед.