§3.2 Потенциалдық шұңқырдағы бөлшек
Шексіз терең потенциалдық шұңқырдағы микробөлшекті қарастырсақ ол мына түрде сипатталады: егер бөлшек (0,а) аралығында болса, оның энергиясы тұрақты нөлге тең (3.1а-сурет).
а) б)
3.1-сурет
Шекараға
жақындағанда оған шексіз үлкен кері
итеру күш
әсер
етіп, бөлшек шұңқыр қабырғасынан кері
шағылады. Осы жағдайда бөлшек (0,а)
аралығынан шыға алмайды.
Ондай бөлшектің күйін анықтау үшін бір өлшемді Шредингер теңдеуін шешу керек. Осы мақсатта Шредингер теңдеуін х-осі бойымен бір өлшемді қозғалыс үшін жазайық:
(3.2.1)
Бұл жердегі сыртқы потенциалдық өріс төмендегідей болсын:
(3.2.2)
Мұндай өріс щексіз терең потенциал шұңқыр деп аталады. Бөлшек шұңқырдың шекарасына жақындағанда оған шексіз үлкен кері итеруші күш әсер етеді:
(3.2.3)
Сондықтан бөлшек шұңқыр сыртына шыға алмайды. Олай болса, шұңқырдан тысқары нүктелерде толқындық функция нөлге тең болғандықтан, толқындық функция үздіксіз болу үшін, шекаралық нүктелерде функция нөлге тең болуы керек.
(3.2.4)
Бұл формуланы шекаралық шарт ретінде аламыз. Оның, физикалық мағынасы бар ол (3.2.1) формуланың шешуін қанағаттандыру керек.
Потенциалдық
шұңқыр ішінде
болса, онда U=0
болғандықтан (3.2.1) теңдеу мынадай түрге
келеді:
(3.2.5)
(3.2.6)
Бұл
теңдеудің дербес шешімі
шекаралық
шарт (3.2.4)-ті қанағаттандыру үшін
Сsin(k
)=0;
k
=nπ;
(n=1,2...)
Бұдан
толқындық санның кез келген мәндерді
қабылдай алатынын көреміз. Оның шамасы
шұңқұр ішіне жарты толқын ұзындығы
бүтін сан ретінде орналасатындай болу
керек. Бұдан мынадай квантталу шартын
аламыз:
;
(3.2.7)
Энергияның
меншікті мәнін табу үшін, (3.2.5) формуладағы
коэффициентін
-
коэффициентімен алмастырсақ, онда
(3.2.8)
(3.2.9)
онда
(3.2.10)
(3.2.5) және (3.2.10) теңдеулерді теңестіріп:
Бұдан энергияны тапсақ, ол
n=1,2,3...
(3.2.11)
Бұл теңдеу (3.2.11) бөлшектердің квантталу энергиясының меншікті мәні болып табылады. Демек энергия дискретті мәндер жиынтығын қабылдайды.
Потенциалдық
шұңқырдағы бөлшектің квантталу
энергиясын шекаралық шарттарды қолдану
арқылы анықтай аламыз (х=0, x=a). Шұңқыр
ішінде бөлшектің потенциалдық
энергиясы болатындықтан, толық энергия
кинетикалық энергияға тең болады.
Бөлшек энергиясы квантталған, яғни
бөлшек энергиясы тек белгілі дискреттік
мәндер қабылдай алады, бұлар меншікті
мәндер болады.
деңгейге сәйкес келетін n
бүтін сан, ол деңгейдің кванттық саны
деп аталады. 3.1.б- суретте бөлшектің
бірнеше энергия деңгейлерінің орналасуы
көрсетілген. Энергияның ең аз мәніне
негізгі күй, ал қалған мәндеріне қозған
күйлер сәйкес келеді.
Екі көршілес деңгейдегі энергиялар айырымы, n үлкен сан болғанда:
(3.2.12)
Яғни
энергия айырымы (
)
бөлшек массасы (m) және шұңқыр ені (а)
кеміген сайын арта түседі.
Шұңқырдағы бөлшектің энергиясы нөлге тең болуы мүмкін емес. Егер бөлшек энергиясы нөлге тең болса, онда толқындық функциясы да шұңқырдың кез келген нүктесінде нөл болар еді. Онда бөлшектің шұңқырда болуы мүмкін емес. Бөлшек энергиясының нөлге тең болуы және мүмкін мәндерінің белгілі дискретті мәндермен шектелуі кванттық механикаға тән нәтижелер. Классикалық механикада энергия кез келген мәнге, соның ішінде нөлге де тең болады.