1) Таблица 1 - Метод максимального значения
Построим первый опорный план транспортной задачи.
Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наибольшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел. Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наибольшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.
Поставщик Потребитель |
1 |
2 |
3 |
4 |
Наличие |
I |
11 х |
16 6 |
20 10 |
7 х |
16 |
II |
12 10 |
8 13 |
6 х |
2 х |
23 |
III |
5 х |
4 1 |
10 х |
8 20 |
21 |
IV |
0 x |
0 x |
0 x |
0 x |
0 |
Потребность |
10 |
20 |
10 |
20 |
60 60 |
Значение целевой функции для этого опорного плана равно:
F(x) = 16*6 + 20*10 + 12*10 + 8*13 + 4*1 + 8*20 = 684.
Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является вырожденным.
Строим новый план до тех пор, пока будут заполнены 7 клеток.
На протяжении многих итераций так и не удалось получить невырожденный план.
2) Таблица 3 - Метод аппроксимации Фогеля.
Поставщик Потребитель |
1 |
2 |
3 |
4 |
Наличие |
I |
11 9 |
16 х |
20 х |
7 7 |
16 |
II |
12 х |
8 х |
6 10 |
2 13 |
23 |
III |
5 1 |
4 20 |
10 х |
8 х |
21 |
IV |
0 x |
0 x |
0 x |
0 x |
0 |
Потребность |
10 |
20 |
10 |
20 |
60 60 |
Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является вырожденным.
Значение целевой функции для этого опорного плана равно:
F(x) = 11*9 + 7*7 + 6*10 + 2*13 + 5*1 + 4*20 = 319.
3) Таблица 2 - Метод северо-западного угла
Построим первый опорный план транспортной задачи.
План начинается заполняться с верхнего левого угла.
Поставщик Потребитель |
1 |
2 |
3 |
4 |
Наличие |
I |
11 10 |
16 6 |
20 х |
7 х |
16 |
II |
12 х |
8 14 |
6 9 |
2 х |
23 |
III |
5 х |
4 х |
10 1 |
8 20 |
21 |
IV |
0 x |
0 x |
0 x |
0 x |
0 |
Потребность |
10 |
20 |
10 |
20 |
60 60 |
Значение целевой функции для этого опорного плана равно:
F(x) = 11*10 + 16*6 + 8*14 + 6*9 + 10*1 + 8*20 = 542.
Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является вырожденным.
Строим новый план до тех пор, пока будут заполнены 7 клеток.
На протяжении многих итераций так и не удалось получить невырожденный план.
Выбираем один из полученных планов F(x) = 11*10 + 16*6 + 8*3 + 2*20 + 4*11 + 10*10 = 414;
Для получения невырожденного плана принудительно добавляем [0].
Поставщик Потребитель |
1 |
2 |
3 |
4 |
Наличие |
I |
11 10 |
16 6 |
20 0 |
7 х |
16 |
II |
12 х |
8 3 |
6 х |
2 20 |
23 |
III |
5 х |
4 11 |
10 10 |
8 20 |
21 |
IV |
0 x |
0 x |
0 x |
0 x |
0 |
Потребность |
10 |
20 |
10 |
20 |
60 60 |
Улучшение опорного плана.
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v1 = 11; 0 + v1 = 11; v1 = 11
u1 + v2 = 16; 0 + v2 = 16; v2 = 16
u2 + v2 = 8; 16 + u2 = 8; u2 = -8
u2 + v4 = 2; -8 + v4 = 2; v4 = 10
u3 + v2 = 4; 16 + u3 = 4; u3 = -12
u3 + v3 = 10; -12 + v3 = 10; v3 = 22
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij
-8 + 11 < 12; ∆21 = -8 + 11 - 12 = -9
-12 + 11 < 5; ∆31 = -12 + 11 - 5 = -6
-12 + 10 < 8; ∆34 = -12 + 10 - 8 = -10
max (9,6,10) = -10
Выбираем максимальную оценку свободной клетки
Для этого в перспективную клетку поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Поставщик Потребитель |
1 |
2 |
3 |
4 |
Наличие |
I |
11 10 |
16 6 |
20 0 |
7 х |
16 |
II |
12 х |
8 3+ |
6 х |
2 20- |
23 |
III |
5 х |
4 11- |
10 10 |
8 20+ |
21 |
IV |
0 x |
0 x |
0 x |
0 x |
0 |
Потребность |
10 |
20 |
10 |
20 |
60 60 |
Из значений стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min = 11. Прибавляем 11 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 11, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.
Поставщик Потребитель |
1 |
2 |
3 |
4 |
Наличие |
I |
11 10 |
16 6 |
20 0 |
7 х |
16 |
II |
12 х |
8 14 |
6 х |
2 9 |
23 |
III |
5 х |
4 4 |
10 10 |
8 11 |
21 |
IV |
0 x |
0 x |
0 x |
0 x |
0 |
Потребность |
10 |
20 |
10 |
20 |
60 60 |
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v1 = 11; 0 + v1 = 11; v1 = 11
u1 + v2 = 16; 0 + v2 = 16; v2 = 16
u2 + v2 = 8; 16 + u2 = 8; u2 = -8
u2 + v4 = 2; -8 + v4 = 2; v4 = 10
u3 + v4 = 8; 10 + u3 = 8; u3 = -2
u3 + v3 = 10; -2 + v3 = 10; v3 = 12
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij
0 + 12 < 20; ∆ = 0 + 12 - 20 = -8
-8 + 11 < 12; ∆ = -8 + 11 - 12 = -9
-8 + 12 < 6; ∆ = -8 + 12 - 6 = -2
max(8,9,2) = -9
Улучшаем опорный план до оптимальности.
Поставщик Потребитель |
1 |
2 |
3 |
4 |
Наличие |
I |
11 х |
16 16- |
20 0+ |
7 х |
16 |
II |
12 10 |
8 4+ |
6 х |
2 9- |
23 |
III |
5 х |
4 х |
10 10- |
8 11+ |
21 |
IV |
0 x |
0 x |
0 x |
0 x |
0 |
Потребность |
10 |
20 |
10 |
20 |
60 60 |
Из значений стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 4) = 9. Прибавляем 9 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 9, стоящих в минусовых клетках.
В результате получим новый опорный план.
Поставщик Потребитель |
1 |
2 |
3 |
4 |
Наличие |
I |
11 х |
16 7 |
20 9 |
7 х |
16 |
II |
12 10 |
8 13 |
6 х |
2 х |
23 |
III |
5 х |
4 х |
10 1 |
8 20 |
21 |
IV |
0 x |
0 x |
0 x |
0 x |
0 |
Потребность |
10 |
20 |
10 |
20 |
60 60 |
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v2 = 16; 0 + v2 = 16; v2 = 16
u2 + v2 = 8; 16 + u2 = 8; u2 = -8
u2 + v1 = 12; -8 + v1 = 12; v1 = 20
u1 + v3 = 20; 0 + v3 = 20; v3 = 20
u3 + v3 = 10; 20 + u3 = 10; u3 = -10
u3 + v4 = 8; -10 + v4 = 8; v4 = 18
Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vj ≤ cij.
Максимальная прибыль составит:
F(x) = 16*7 + 20*9 + 12*10 + 8*13 + 10*1 + 8*20 = 686
Проверяем пустые клетки на оптимальность:
= 11 – (0 + 20) = - 9, opt
=
7 – (0 + 18) = -11, opt
= 6 – (-8 + 20) = - 6, opt
= 2 – (-8 + 18) = - 8, opt
=
5 – (-10 + 20) = - 5, opt
=
4 – (-10 + 16) = -2, opt
Вывод: план оказался оптимальным, т.к. все числовые характеристики меньше 0, т.е. отрицательны. Поэтому план не нужно улучшать. Если план был бы не оптимальным, т.е. одна, две или несколько характеристик были бы положительны, значит это говорит о том, что существует другой план после распределения которого значения станут больше.