Общие теоретические положения

Основные формулы и уравнения:

Переменный электрический ток (ЭДС, напряжение) – это ток (ЭДС, напряжение), изменяющийся с течением времени. Значение этой величины в рассматриваемый мо­мент времени называется мгновенным значением тока (ЭДС, напряжения).

Наибольшее распространение получил переменный си­нусоидальный ток (ЭДС, напряжение), являющийся си­нусоидальной функцией времени. Переменный синусои­дальный сигнал характеризуется периодом Т, выражаемым в секундах (с), или величиной, обратной периоду и называемой частотой f электрического тока (ЭДС, напряжения), выражаемой в герцах (Гц):

или

где р – число пар полюсов генератора;

п — частота вра­щения якоря генератора, об/мин.

Мгновенные значения тока, ЭДС, напряжения соот­ветственно:

,

,

.

где i, е, и – мгновенные значения тока (А); ЭДС (В); на­пряжения, (В);

I_m, E_m, U_m – амплитудные значения тока (А); ЭДС (В); на­пряжения, (В);

ω – угловая частота, 1/с;

Ψ_i , Ψ_u , Ψ_e – начальная фаза тока, ЭДС напряжения;

t – время, с.

Угловая частота синусоидального электрического тока (ЭДС, напряжения)

Начальная фаза тока (ЭДС, напряжения) (Ψ_i , Ψ_u , Ψ_e) – это значение фазы в момент времени t = 0.

Разность начальных фаз двух синусоидальных величин одной и той же частоты называют сдвигом фаз.

Сдвиг фаз между напряжением и током определяется вычитанием начальной фазы тока из начальной фазы на­пряжения:

φ = Ψ_u – Ψ_i

Синусоидально изменяющиеся величины изображают либо графически как функции времени t или угла ωt, либо вращающимися векторами на плоскости. В последнем слу­чае длина вектора в выбранном масштабе представляет собой действующее значение этой ве­личины, угол между этим вектором и положительным на­правлением оси абсцисс в начальный момент времени равен начальной фазе Ψ, а угловая частота вращения вектора рав­на угловой частоте ω.

Совокупность двух и большего числа векторов называют векторной диаграммой. Сложение векторов производят по правилу параллелограмма. Вычитание их – это сложение с обратной по знаку вычитаемой величиной.

Действующее значение переменного тока (ЭДС, на­пряжения) – это среднеквадратичное значение переменного тока (ЭДС, напряжения) за период Т:

;

;

.

Пример расчета разветвленной цепи:

Активное сопротивление катушки R_k= 8 Ом, индуктивное X_L = 22 Ом. Последовательно с катушкой включены активное сопротивление R = 4 Ом и конденсатор с сопротивлением X_С = 6 Ом. К цепи приложено напряжение U = 200 В.

Определить: силу тока цепи; коэффициент мощности, активную и полную мощности, напряжение на каждом сопротивлении. Начертить в масштабе векторную диаграмму цепи. Как следует изменить сопротивление конденсатора, чтобы в цепи наступил резонанс напряжений и чему равен ток при резонансе?

Решение:

1. Определяем полное сопротивление цепи:

;

2. Определяем силу тока в цепи:

;

3. Определяем коэффициент мощности:

По таблицам Брадиса определяем: cosφ= 0,6 соответствует углу φ≈ 53°

4. Определяем активную мощность:

,

или

5. Определяем реактивную мощность:

,

или ,

Здесь sin φ = sin 53° ≈ 0,8. Знак у sin φ положительный, т.к. в цепи преобладает индуктивное сопротивление . Цепь имеет активно-индуктивный характер.

6. Определяем полную мощность:

, или

7. Определяем напряжения на сопротивлениях цепи:

;

;

;

.

8. Строим векторную диаграмму:

Задаем масштаб для тока и напряжения: М_I=2A/см, М_U=20B/см.

Откладываем по горизонтали вектор тока I=10А; его длина составит 10:2=5см. Вдоль вектора тока откладываем в принятом масштабе вектор падения напряжения в активном сопротивлении катушки U_Rк, его длина составит 80/20= 4см.

К концу вектора U_Rк в сторону опережения вектора тока на 90° откладываем вектор падения напряжения в индуктивном сопротивлении катушки U_L (где длина 220:20=11см), к его концу прибавляем вектор падения напряжения в активном сопротивлении U_R (его длина равна 40:20=2см); этот вектор направляем параллельно вектору тока.

К концу вектора U_R прибавляем вектор U_С (его длина равна 60:20=3см), который откладываем перпендикулярно вектору тока в сторону его отставания (вертикально вниз).

Геометрическая сумма этих четырех векторов равна вектору напряжения U (вектор U откладываем с начала вектора U_Rк к концу вектора U_С).

Из диаграммы следует, что вектор напряжения U опережает вектор тока I на угол φ ≈53°.

Для наступления резонанса напряжений необходимо соблюдение условия: X_L = X_С . В данной задаче для этого следует увеличить Х_С до 22Ом.

Тогда: .

Сила тока при резонансе увеличится до: .