Задания к лабораторной работе

1. Выписать математическую модель, определить состав набора входных параметров и их конкретные числовые значения.

2. Если моделирование будет производиться в безразмерных переменных (решение - на усмотрение студента и преподавателя), произвести обезразмеривание и найти набор значений безразмерных параметров.

3. Спроектировать пользовательский интерфейс программы моделирования, обращая особое внимание на формы представления результатов.

4. Выбрать метод интегрирования системы дифференциальных уравнений модели, найти в библиотеке стандартных программ или разработать самостоятельно программу интегрирования с заданной точностью.

5. Произвести отладку и тестирование полной программы.

6. Выполнить конкретное задание из своего варианта работы.

7. Качественно проанализировать результаты моделирования.

8. Создать текстовый отчет по лабораторной работе, включающий:

• титульный лист (название работы, исполнителя, группу и т.д.);

• постановку задачи и описание модели;

• результаты тестирования программы;

• результаты, полученные в ходе выполнения задания (в различных формах);

• качественный анализ результатов.

Варианты заданий

Вариант 1

Установить зависимость периода колебаний маятника T от начальной амплитуды в диапазоне амплитуд θ₀є [0, π] и его отклонение от периода малых колебаний Т₀.

Вариант 2

Установить зависимость периода колебаний маятника T от длины нити подвеса при амплитуде колебаний, равной π/2.

Вариант 3

Ограничиваясь тремя членами ряда Фурье, исследовать зависимость амплитуд гармоник а₁, а₂ и а₃ от начальной амплитуды колебаний.

Вариант 4

Ограничиваясь тремя членами ряда Фурье, исследовать зависимость амплитуд гармоник а₁ , а_2, и a₃ от длины нити подвеса при амплитуде колебаний, равной π/2.

Вариант 5

Заменить в (19) sin(θ) на θ и изучить, как трение влияет на малые колебания математического маятника. Фиксировать параметр l и найти то критическое значение коэффициента трения η*, при котором движение перестает быть колебательным и становится монотонно затухающим (апериодический режим).

Вариант 6

В условиях предыдущей задачи построить зависимость η* от l при фиксированном значении ω.

Вариант 7

Изучить, как значение начальной амплитуды немалых колебаний математического маятника с трением сказывается на переходе режима затухающих колебаний в режим затухания без колебаний.

Вариант 8

Построить зависимость амплитуды малых колебаний без трения от частоты вынуждающей силы λ при приближении ее к частоте собственных колебаний ω₀.

Вариант 9

Построить зависимость амплитуды немалых колебаний маятника без трения от частоты вынуждающей силы λ при приближении ее к частоте собственных колебаний ω₀.

Вариант 10

Построить зависимость амплитуды немалых колебаний маятника без трения от амплитуды вынуждающей силы при ее частоте, приблизительно равной половине частоты собственных колебаний маятника.

Вариант 11

Получить картину процесса биений в системе с близкими значениями частот λ, и ω₀ (в приближении малых колебаний и без наличия трения).

Вариант 12

Получить картину процесса биений в системе с близкими значениями частот λ и ω₀ (для амплитуды колебаний, равной π/2, и без наличия трения).

Вариант 13

Исследовать, как возрастание коэффициента трения влияет на процесс биений в системе с близкими значениями частот λ и ω₀ (для произвольной амплитуды колебаний).

Вариант 14

Исследовать колебания маятника с периодически меняющейся длиной нити подвеса. Построить на фазовой плоскости (λ/ω₀, α) границы нескольких зон параметрического резонанса (без учета трения).

Вариант 15

В условиях задания из предыдущего варианта исследовать влияние трения на границы нескольких зон параметрического резонанса.

Вариант 16

Построить модель колебаний шарика массы т, висящего на пружинке (пружинного маятника), движущегося под влиянием силы тяжести и упругой силы, без учета трения. Исследовать зависимость периода колебаний маятника от длины l при фиксированном значении параметров т и k (жесткости пружины).

Вариант 17

Для маятника, описанного в предыдущей задаче, исследовать зависимость периода колебаний от массы при фиксированных значениях параметров k и l.

Вариант 18

Для маятника, описанного в варианте 16, добавить учет сопротивления окружающей среды (при конечном размере шарика) и исследовать зависимость периода колебаний от вязкости среды при движении маятника в воде (значения остальных параметров фиксировать). Найти границу перехода периодического движения в апериодическое.

Вариант 19

Для маятника, описанного в варианте 16, добавить учет воздействия периодической вынуждающей силы и исследовать зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы при прохождении через резонанс (без учета трения).

Вариант 20

Построить модель колебаний шарика массы т, лежащего на горизонтальной поверхности, под действием пружины, создающей упругую силу F_ynp = -ах - bх³, где х - смещение из положения равновесия. Трения не учитывать. Исследовать зависимость периода колебаний такого маятника от параметра b (при фиксированном значении других параметров).

Вариант 21

Для маятника, описанного в предыдущем варианте, добавить учет трения шарика о поверхность (сила трения пропорциональна весу шарика) и исследовать зависимость периода колебаний от коэффициента трения. Найти границу перехода периодического движения в апериодическое.

Вариант 22

Для маятника, описанного в варианте 20, добавить учет наличия вынуждающей периодической силы и исследовать зависимость периода колебаний от амплитуды вынуждающей силы при ее частоте, равной приблизительно половине частоты собственных колебаний (без учета трения).

Вариант 23

Для маятника, описанного в варианте 20, добавить учет наличия вынуждающей периодической силы и исследовать зависимость периода колебаний от частоты вынуждающей силы при прохождении через резонанс (без учета трения).

Вариант 24

Исследовать процесс биений для маятника, описанного в варианте 20, в отсутствии трения.

Дополнительная литература

1. Мигулин В. В. и др. Основы теории колебаний. - М.: Наука, 1988.

2. Савельев И. В. Курс общей физики: В 3 т. Т. 1, 2. - М.: Наука, 1977.

3. СивухинД. В. Общий курс физики: В 5 т. Т. 1. - М.: Наука, 1974.

4. Стрелков СП. Механика. - М.: Наука, 1975.

5. Стрелков СП. Введение в теорию колебаний. - М.: Наука, 1964.

6. Хайкин С.Э. Физические основы механики. - М.: Наука, 1976.

Краткие сведения

Описание физических процессов в приближении сплошной среды

Наиболее удобные способы наглядного изображения электрического поля связаны с двумя взаимодополняющими картинами: силовых линий и линий равного потенциала.

Для построения эквипотенциальных линий (в трехмерном случае - поверхностей) поля, созданного системой зарядов, можно воспользоваться принципом суперпозиции: потенциалы полей, созданных разными зарядами, алгебраически складываются. Поскольку потенциал поля, созданного зарядом q на расстоянии r от него, равен, легко определить общий потенциал в любой точке.

В задачах моделирования достаточно стандартная проблема - построение линий (поверхностей), вдоль которых некоторая функция имеет одинаковое значение, называемых изолиниями (изоповерхностями). Это очень распространенная задача визуализации характеристик некоторого скалярного поля в приближении сплошной среды.

Пусть поле создается системой точечных электрических зарядов Q₁ ..., Q_p с координатами соответственно (х₁, y₁), ..., (х_p, у_p). Типичная процедура построения изолиний на экране компьютера состоит в следующем. Выберем по осям х и у некоторые шаги h_x и h_y покроем плоскость сеткой, образованной прямыми, параллельными осям х и у и отстоящими друг от друга на расстояниях h_x и h_y соответственно. Точки пересечения этих прямых - узлы сетки. Пронумеруем их так: начало координат (0,0), следующий по оси x вправо - (0,1), влево - (0,-1); по оси у вверх - (1,0), вниз (-1,0) и т.д. Значения потенциала, создаваемого системой зарядов Q₁, ..., Q_p в узле (i, k), согласно принципу суперпозиции, таково (обратим внимание, что здесь и ниже i - номер строки, k - номер столбца сетки):

, (22)

Ограничимся прямоугольной областью в плоскости ху: по оси х и по оси у. В этой области (2т + 1)(2n + 1) узлов. Вычислим значения потенциала в каждом из них по указанным формулам. В результате получим матрицу значений потенциала.

Фиксируем некоторое значение потенциала и построим изолинию, соответствующую этому значению. Для этого проходим, к примеру, по i-й горизонтальной линии сетки и ищем среди ее узлов такие соседние значения потенциала, в которых «захватывают» между собой; признаком этого может служить выполнение неравенства (Ф_iк - )(Ф_i,к+1 - ) < 0. Если такая пара узлов найдена, то координату точки, в которой Ф = , найдем приближенно с помощью линейной ин­терполяции:

(23)

Найдя в данной горизонтали все такие точки, перейдем к следующей горизон­тали, пока не исчерпаем их все. Для этого надо совершить двойной циклический проход: во внешнем цикле перебирать i от -n до +n, во внутреннем перебирать к от -m до +m.

После этого следует аналогично заняться поиском нужных точек на вертикаль­ных линиях сетки. Детали процедуры очевидны; формулы, аналогичные (23), имеют вид

(24)

После прохождения всех горизонтальных и вертикальных линий сетки находятся все те точки на этих линиях, в которых потенциал равен Ф. Проведя - мысленно или на экране (или на бумаге) - кривую, плавно проходящую через ближайшие точки (прибегая, например, к интерполяции сплайнами), получим искомую изолинию (разумеется, лишь в том случае, если значение Ф выбрано разумно и такая линия есть в пределах рассматриваемой области). Затем берем другие значения Ф и повторяем указанную процедуру, получая таким образом семейство изолиний.

Один из способов построения объемной картины электрического поля состоит в том, чтобы построить системы изолиний в нескольких параллельных равноотстоящих плоскостях для одного и того же набора значений потенциала. Квазитрехмерная картина совокупности указанных плоскостей с изображенными на них изолиниями создает представление об объемной структуре электрического поля.

Для построения изолиний поля, созданного однородно заряженными нитями, пластинами, можно представить их как совокупности большого числа одинаковых «точечных зарядов», в совокупности воспроизводящих форму нити или пластины.

Процесс теплопроводности возникает, если тело неоднородно нагрето. Простейшая для изучения теплопроводности система - линейный однородный стержень (рис. 7.5). В простой модели боковая поверхность стержня считается теплоизолированной, т.е. через нее нет обмена теплом с окружающей средой.

Обозначим температуру стержня в точке с координатой х в момент времени t через u(x,t). Уравнение теплопроводности имеет вид

(25)

где а - коэффициент температуропроводности, зависящий в первую очередь от вещества, из которого сделан стержень.

Уравнение теплопроводности сопровождается начальными и краевыми условиями, делающими постановку задачи физически однозначной. Начальное условие задает распределение температуры в стержне в начальный момент времени (счита­ем его равным нулю):

u(x,0) =f(х). (26)

Краевые условия (их должно быть в данном случае два) указывают в простей­шем варианте, какая температура поддерживается на концах стержня:

u(0,t) = u|_x=0 = ũ₀(t), u(l,t) u|_х=l, = ũ_l(t). (27)

х

Рис. 5. К вопросу о теплопроводности стержня

Моделирование процесса теплопроводности связано с дискретизацией, как временного изменения температуры, так и пространственного. Если для пространственных производных использовать простейшие центрально-разностные аппроксимации, а по времени - схему Эйлера, то величины находятся из системы линейных алгебраических уравнений

(28)

к = 0, 1, ...; i = 1, 2, ..., п - 1 - для внутренних узлов пространственной сетки; в силу начального условия . Шаг по времени обозначен Δt, по пространству - Δх.

Описанный метод устойчив при выполнении условия

(29)

Это следует учитывать, выбирая шаги по времени и пространству. Существенно более устойчива следующая неявная схема второго порядка (схе­ма Кранка - Николсона):

(30)

Это система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Для ее решения наиболее эффективен метод прогонки.

Другие численные схемы решения одномерной задачи теплопроводности можно найти в специальной литературе.

Контрольные вопросы

1. Какие примеры сплошных сред и проистекающих в них процессов Вам известны?

2. Как построить на экране компьютера пространственное распределение электрического поля?

3. Как выглядит уравнение теплопроводности в общем случае? Как к нему ставить начальные и граничные условия?

4. Как построить пятиточечную аппроксимацию первой и второй производных на одномерной сетке?

Темы для рефератов

1. Моделирование процессов тепломассопереноса в приближении сплошной среды.

2. Описание процесса диффузии.

3. Моделирование процесса распространения упругих волн в твердом теле.

4. Моделирование простых течений жидкости.

Тема семинарских занятий

Визуализация физических процессов, проистекающих в сплошной среде.