Краткие сведения Моделирование движения небесных тел и заряженных частиц
Движение небесных тел. Рассмотрим модель движения космического тела (планеты, кометы, спутника) под действием силы всемирного тяготения в гравитационном поле, создаваемом телом с многократно большей массой.
Входные параметры модели:
масса «большого» тела;
начальные координаты «малого» тела, движение которого изучается;
начальная скорость «малого» тела.
В системе координат, начало которой привязано к «большому» телу, дифференциальные уравнения модели имеют вид:
(13)
Они получаются из второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения. G = 6,67 10ֿ¹¹ м3/кг с2 — гравитационная постоянная.
Движение заряженных частиц. Рассмотрим модель движения заряженной частицы в кулоновском поле другой заряженной частицы, положение которой фиксировано. Входные параметры модели:
q к Q - соответственно заряды движущейся и закрепленной частиц;
т - масса движущейся частицы;
начальные координаты движущейся частицы;
начальная скорость движущейся частицы.
В системе координат, начало которой привязано к «большому» телу, дифференциальные уравнения модели имеют вид
(14)
Эти уравнения получаются из второго закона Ньютона и закона Кулона; ε0=0,85*10-12 Ф/м - электрическая постоянная. Знак «минус» в двух последних уравнениях соответствует разноименно заряженным частицам; в случае одноименных зарядов он меняется на «плюс».
Взаимные движения разноименно заряженных частиц и движения двух небесных тел качественно очень схожи (это становится совершенно очевидным после обезразмеривания уравнений (13) и (14)).
Контрольные вопросы
Как формулируется закон всемирного тяготения?
Как формулируется закон Кулона?
Тема для рефератов
Движение небесных тел. Задача двух тел. Возмущения. Задача трех тел.
Темы семинарских занятий
Движение небесных тел. Закон всемирного тяготения. Законы Кеплера.
Закон Кулона. Единицы измерения электрических величин. Характеристики электрического поля.
Лабораторная работа
Общие рекомендации
Целесообразно до начала компьютерной реализации модели провести обезразмеривание переменных, входящих в уравнения, выявить безразмерные комбинации параметров модели и дальнейшие действия производить в безразмерных величинах.
Необходим контроль точности результатов и устойчивости применяемого численного метода. Для этого достаточно ограничиться эмпирическими приемами (например, сопоставлением решений, полученных с несколькими разными шагами по времени).
Целесообразно применять для моделирования стандартные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений, описанные в математической литературе. Простейшие методы (метод Эйлера) часто бывают неустойчивы, и их применение ведет к лишнему расходу времени.
Результаты моделирования следует выводить на экран компьютера в следующем виде: в виде таблиц зависимостей перемещения и скорости от времени, в виде графиков этих зависимостей, в виде траекторий. Желательны динамические иллюстрации движения тел (скажем, изображение движения по траекториям в некотором условном масштабе времени через равные промежутки). Уместны звуковые сигналы (одни - в критические моменты для моделируемого движения, другие - через каждый фиксированный отрезок пройденного пути и т.д.).
При выводе результатов в табличном виде следует учитывать, что соответствующий шаг по времени не имеет практически ничего общего с шагом интегрирования и определяется удобством и достаточной полнотой для восприятия результатов на экране. Экран, сплошь забитый числами, зрительно плохо воспринимается. Выводимые числа следует разумным образом форматировать, чтобы незначащие цифры практически отсутствовали.
При выводе результатов в графической форме графики должны быть построены так, как это принято в математической литературе (с указанием величин отложенных по осям, их размерности и масштаба и т.д.).
Поскольку таблицы, графики и траектории на одном экране обычно не помещаются, удобно сделать меню, в котором пользователь выбирает желаемый в настоящий момент вид представления результатов.
Примерное время выполнения 16 часов.