Контрольные вопросы

1. Каковы альтернативные формы записи второго закона Ньютона?

2. Как связаны сила трения при движении тела в среде со скоростью движения при относительно небольших (дозвуковых) скоростях?

3. Как (качественно) меняется сила трения со скоростью при околозвуковых скоростях движения?

4. При каких значениях скорости становятся равными линейная и квадратичная составляющие силы сопротивления при падении шарика диаметром 5 см:

а) в воде; б) в керосине; в) в глицерине?

Тема для рефератов

Виды трения. Трение покоя и трение движения. Зависимость силы трения от условий движения.

Темы семинарских занятий

1. Основные законы механики движения тела. Движение тел в среде с учетом трения.

2. Обезразмеривание величин, входящих в дифференциальные уравнения, и установление законов подобия.

Лабораторная работа

Общие рекомендации

1. Целесообразно до начала компьютерной реализации модели провести обезразмеривание переменных, входящих в уравнения, выявить безразмерные комбинации параметров модели и дальнейшие действия производить в безразмерных величинах.

2. Необходим контроль точности результатов и устойчивости применяемого численного метода. Для этого достаточно ограничиться эмпирическими приемами (например, сопоставлением решений, полученных с несколькими разными шагами по времени).

3. Целесообразно применять для моделирования стандартные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений, описанные в математической литературе. Простейшие методы (метод Эйлера) часто бывают неустойчивы, и их применение ведет к лишнему расходу времени.

4. Результаты моделирования следует выводить на экран компьютера в следующих видах: таблицы зависимостей перемещения и скорости от времени, графики этих зависимостей, траектории. Желательны динамические иллюстрации движения тел (скажем, изображение движений по траекториям в некотором условном масштабе времени через равные промежутки). Уместны звуковые сигналы (одни - в критические моменты для моделируемого движения, другие - через некоторый фиксированный отрезок пройденного пути и т.д.).

5. При выводе результатов в табличном виде следует учитывать, что соответствующий шаг по времени не имеет практически ничего общего с шагом интегрирования и определяется удобством и достаточной полнотой для восприятия результатов на экране. Экран, сплошь забитый числами, не поддается восприятию. Выводимые числа следует разумным образом форматировать, чтобы незначащие цифры практически отсутствовали.

6. При выводе результатов в графической форме графики должны быть построены так, как это принято в математической литературе (с указанием того, какие величины отложены по осям, в каких масштабах и т.д.).

7. Поскольку таблицы, графики и траектории на одном экране обычно не помещаются, удобно сделать меню, в котором пользователь выбирает желаемый в настоящий момент вид представления результатов.

Примерное время выполнения 16 часов.

Задания к лабораторной работе

1. Выписать математическую модель, определить состав набора входных параметров и их конкретные числовые значения.

2. Если моделирование будет производиться в безразмерных переменных (решение - на усмотрение студента и преподавателя), произвести обезразмеривание и найти набор значений безразмерных параметров.

3. Спроектировать пользовательский интерфейс программы моделирования, обращая особое внимание на формы представления результатов.

4. Выбрать метод интегрирования системы дифференциальных уравнений модели, найти в библиотеке стандартных программ или разработать самостоятельно программу интегрирования с заданной точностью.

1. Произвести отладку и тестирование полной программы.

2. Выполнить конкретное задание из своего варианта работы.

3. Качественно проанализировать результаты моделирования.

4. Создать текстовый отчет по лабораторной работе, включающий:

• титульный лист (указать название работы, исполнителя, номер группы и т.д.);

• постановку задачи и описание модели;

• результаты тестирования программы;

• результаты, полученные в ходе выполнения задания (в различных формах);

• качественный анализ результатов.

Варианты заданий

Вариант 1

Парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не открывая парашюта; на! какой высоте (или через какое время) ему следует открыть парашют, чтобы иметь к моменту приземления безопасную скорость (не большую 10 м/с)?

Вариант 2

Изучить, как связана высота прыжка с площадью поперечного сечения парашюта, чтобы скорость приземления была безопасной.

Вариант 3

Промоделировать падение тела с заданными характеристиками (массой, формой) в различных вязких средах. Изучить влияние вязкости среды на характер движения. Скорость движения должна быть столь невелика, чтобы квадратичной составляющей силы сопротивления можно было пренебрегать.

Вариант 4

Промоделировать падение тела с заданными характеристиками (массой, формой) в различных плотных средах. Изучить влияние плотности среды на характер движения. Скорость движения должна быть достаточно большой, чтобы линейной составляющей силы сопротивления можно было пренебрегать (на большей части пути).

Вариант 5

Промоделировать движение исследовательского зонда, «выстрелянного» вертикально вверх с уровня земли. В верхней точке траектории над зондом раскрывается парашют, и он плавно спускается в точку старта.

Вариант 6

Промоделировать движение исследовательского зонда, «выстрелянного» вертикально вверх с летящего над землей самолета. В верхней точке траектории над зондом раскрывается парашют, и он плавно спускается на землю.

Вариант 7

Глубинная бомба, установленная на взрыв через заданное время, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между глубиной, на которой произойдет взрыв, и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).

Вариант 8

Глубинная бомба, установленная на взрыв на заданной глубине, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между временем достижения заданной глубины и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).

Вариант 9

Провести моделирование взлета ракеты при значениях параметров m₀ =2 * 10⁷ кг, т_кон = 2 * 10⁵ кг, α= 2 * 10⁵ кг/с, F_тяги„ = 4 * 10⁸ Н. Ответить на вопрос, достигнет ли ракета при этих значениях параметров первой космической скорости 7,8 км/с?

Вариант 10

Провести исследование соотношения входных параметров m₀ и F_тяги, при которых ракета достигнет первой космической скорости (и в соответствующий момент исчерпает горючее). Остальные входные параметры фиксировать произвольно. Построить соответствующую фазовую диаграмму в переменных (т₀, F_тяги).

Вариант 11

Разработать и исследовать усовершенствованную модель взлета ракеты, приняв во внимание, что реальные космические ракеты обычно двух- и трехступенчатые и двигатели разных ступеней имеют разную силу тяги.

Вариант 12

Промоделировать движение исследовательского зонда, снабженного разгонным двигателем небольшой мощности, «выстрелянного» вертикально вверх с уровня земли. В верхней точке траектории двигатель выключается, над зондом раскрывается парашют, и он плавно спускается в точку старта.

Вариант 13

Промоделировать движение исследовательского зонда, снабженного разгонным двигателем небольшой мощности, «выстрелянного» вертикально вверх с летящего над землей самолета. В верхней точке траектории над зондом раскрывается пара­шют, и он плавно спускается на землю.

Вариант 14

Глубинная бомба-торпеда, снабженная разгонным двигателем, установленная на взрыв через заданное время, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между глубиной, на которой произойдет взрыв, и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).

Вариант 15

Глубинная бомба-торпеда, снабженная разгонным двигателем, установленная на взрыв на заданной глубине, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между временем достижения заданной глубины и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).

Вариант 16

Торпеда, снабженная разгонным двигателем, нацеливается с подводной лодки на стоящий вертикально над ней надводный корабль. Исследовать связь между временем поражения цели и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).

Вариант 17

Построить траектории и найти временные зависимости горизонтальной и вер­тикальной составляющих скорости и перемещения для тела массой 1 кг, брошенного под углом 45° к горизонту с начальной скоростью 10 м/с:

1) в воздухе; 2) в воде.

Сравнить результаты с теми, которые получились бы без учета сопротивления среды (последние можно получить либо численно из той же модели, либо аналитически).

Вариант 18

Найти вид зависимости горизонтальной длины полета тела и максимальной высоты траектории от одного из коэффициентов сопротивления среды, фиксировав все остальные параметры. Представить эту зависимость графически и подобрать подходящую аналитическую формулу, определив ее параметры методом наименьших квадратов.

Вариант 19

Разработать модель подводной охоты. На расстоянии r под углом α подводный охотник видит неподвижную акулу. На сколько метров выше нее надо целиться, чтобы гарпун попал в цель?

Вариант 20

Поставить и решить задачу о подводной охоте при дополнительном условии: акула движется.

Вариант 21

Промоделировать движение исследовательского зонда, «выстрелянного» под углом к горизонту. В верхней точке траектории над зондом раскрывается тормозной парашют, затем зонд плавно движется до земли.

Вариант 22

Глубинная бомба, установленная на взрыв через заданное время, сбрасывается с движущегося противолодочного корабля. Исследовать связь между глубиной, на которой произойдет взрыв, пройденным расстоянием по горизонтали и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).

Вариант 23

Глубинная бомба-торпеда, снабженная разгонным двигателем, установленная на взрыв на заданной глубине, сбрасывается с движущегося противолодочного корабля. Исследовать связь между временем достижения заданной глубины, пройденным расстоянием по горизонтали и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).

Вариант 24

Торпеда, снабженная разгонным двигателем, нацеливается с лежащей на дне подводной лодки на поражение движущегося надводного корабля. Пуск торпеды производится в момент прохождения корабля над лодкой. Исследовать связь между глубиной залегания лодки, временем поражения цели и расстоянием, который корабль успеет пройти по горизонтали.

Дополнительная литература

1. Архангельский М.М. Курс физики. Механика. - М.: Просвещение, 1975.

2. ГулдХ., ТобочникЯ. Компьютерное моделирование в физике: Пер. с англ. Т. 1, 2.— М.: Мир, 1990.

3. Савельев И.В. Курс общей физики: В 3 т. Т. 1. - М.: Наука, 1977.

4. СивухинД.В. Общий курс физики: В 5 т. Т. 1. - М.: Наука, 1974.

5. Стрелков СП. Механика. - М.: Наука, 1975.

6. Хайкин С.Э. Физические основы механики. - М.: Наука, 1976.