Вариант 14

Реализовать имитационную модель статистического моделирования для решения задачи Бюффона (XVIII в.). Автор аналитически нашел, что если на поле, разграфленное параллельными прямыми, расстояние между которыми L, бросается наугад игла длиной l, то вероятность того, что игла пересечет хотя бы одну прямую, определяется формулой .

Эта задача дала способ имитационному определению числа п. Действительно, если L = 2l, то . В ходе моделирования выполнить этот расчет.

Вариант 15

Разработать модель случайного одномерного блуждания (модель «пьяницы»). Блуждание задается по правилу: если случайное число из отрезка [0,1] меньше 0,5, то делается шаг вправо на расстояние h, в противном случае - влево. Распределение случайных чисел принять равновероятным.

Решить задачу: какова вероятность при таком блуждании удалиться от начальной точки на п шагов?

Вариант 16

В условиях задачи из предыдущего варианта получить ответ на вопрос: какова вероятность «пьянице» вернуться через п шагов в начальную точку?

Вариант 17

Точка хаотически блуждает на плоскости по узлам квадратной сетки с возмож­ностью делать с равной вероятностью шаги влево-вправо-вверх-вниз на фиксированный (за один ход) шаг. Движение происходит в замкнутом прямоугольном объеме, и при соприкосновении со стенкой происходит зеркальное отражение от нее.

Ответить в ходе моделирования на вопрос: как связана частота посещения каждого узла с расстоянием от него до того узла, из которого начинается движение.

Вариант 18

Смоделировать ту же ситуацию, что и в задании к варианту 17, при условии неограниченной области блуждания и ответить на заданный вопрос.

Вариант 19

Смоделировать полет пчелы. На плоскости (поляне) случайным образом растут медоносные растения с заданной концентрацией (на 1 м²). В центре - улей, из которого вылетает пчела. Пчела может долететь от одного растения до любого другого растения, но вероятность выбора монотонно уменьшается с увеличением расстояния между растениями (по некоторому закону). Какова вероятность посещения пчелой конкретного заданного растения за заданное количество элементарных перелетов?

Вариант 20

Реализовать модель плоского броуновского движения п частиц в прямоугольнике. Частицы считать шариками конечного размера. Удары частиц друг о друга и о стенки моделировать как абсолютно упругие. Определить в этой модели зависимость давления газа на стенки от числа частиц.

Вариант 21

Разработать в деталях и реализовать модель перемешивания (диффузии) газов в замкнутом сосуде. В начальный момент времени каждый газ занимает половину сосуда. Изучить с помощью этой модели зависимость скорости диффузии от различных входных параметров.

Вариант 22

Реализовать имитационную модель системы «хищник - жертва» по следующей схеме.

«Остров» размером 20x20 заселен дикими кроликами, волками и волчицами. Имеется по несколько представителей каждого вида. Кролики в каждый момент времени с одинаковой вероятностью 1/9 передвигаются в один из восьми соседних квадратов (за исключением участков, ограниченных береговой линией) или просто сидят неподвижно. Каждый кролик с вероятностью 0,2 превращается в двух кроликов. Каждая волчица передвигается случайным образом, пока в одном из соседних восьми квадратов не окажется кролик, за которым она охотится. Если волчица и кролик оказываются в одном квадрате, волчица съедает кролика и по­лучает одно очко. В противном случае она теряет 0,1 очка.

Волки и волчицы с нулевым количеством очков умирают. В начальный момент времени все волки и волчицы имеют 1 очко. Волк ведет себя подобно волчице до тех пор, пока в соседних квадратах не исчезнут все кролики; тогда, если волчица находится в одном из восьми близлежащих квадратов, волк гонится за ней.

Если волк и волчица окажутся в одном квадрате и там нет кролика, которого можно съесть, они производят потомство случайного пола.

Пронаблюдать за изменением популяции в течение некоторого периода времени. Проследить, как сказываются на эволюции популяций изменения параметров модели.