Пример 4.1

Целью исследования явилось выявление, определение тесноты и статистической значимости корреляционной связи между двумя количественными показателями: уровнем тестостерона в крови (X) и процентом мышечной массы в теле (Y). Исходные данные для выборки, состоящей из 5 исследуемых (n = 5), сведены в таблице:

N	1	2	3	4	5
X	951	874	957	1084	903
Y	83	76	84	89	79

1. Вычислим суммы анализируемых значений X и Y:

Σ(X) = 951 + 874 + 957 + 1084 + 903 = 4769

Σ(Y) = 83 + 76 + 84 + 89 + 79 = 441

2. Найдем средние арифметические для X и Y:

M_x = Σ(X) / n = 4769 / 5 = 953.8

M_y = Σ(Y) / n = 441 / 5 = 82.2

3. Определим значения суммы квадратов отклонений Σ(d_x²) и Σ(d_y²):

Σ(d_x²) = 25918.8

Σ(d_y²) = 98.8

4. Найдем значение суммы произведений отклонений Σ(d_x x d_y):

Σ(d_x x d_y) = 1546.2

5. Рассчитаем значение коэффициента корреляции Пирсона r_xy по приведенной выше формуле:

6. Найдем значение t-критерия для оценки статистической значимости корреляционной связи:

Критическое значение t-критерия найдем по таблице, где при числе степеней свободы f = n-2 = 3 и уровне значимости p = 0.01 значение t_крит = 5.84. Рассчитанное значение t_r (7.0) больше t_крит (5.84), следовательно связь является статистически значимой.

7. Сделаем статистический вывод:

Значение коэффициента корреляции Пирсона составило 0.97, что соответствует весьма высокой тесноте связи между уровнем тестостерона в крови и процентом мышечной массы. Данная корреляционная связь является статистически значимой (p<0.01).

Занятие 5

Критерии согласия. Критерии однородности выборок

§ 6. Критерий согласия Пирсона . Критерий Вилкоксона однородности выборок

Критерии согласия. Проверка гипотезы о виде распределения: критерий Пирсона. Проверка гипотезы об однородности выборок: критерий Вилкоксона.

Пример5.1. Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные варианты х_i , а во второй строке – соответственные частоты n_i количественного признака Х). Требуется, пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости =0,05, установить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки объема n=100.

хi	260	270	280	290	300	310	320
ni	5	15	40	25	8	4	3

Решение: Для применения критерия Пирсона составим таблицу:

xi	zi= =	(zi)	n	ni	n  ni
260	-1,90	0,0656	5,19	5	0,19	0,01
270	-1,11	0,2155	17,06	15	2,06	0,25
280	-0,32	0,3790	29,96	40	-10,04	3,36
290	0,47	0,3572	28,24	25	3,24	0,37
300	1,26	0,1804	14,26	8	6,26	2,75
310	2,06	0,0478	3,78	4	-0,22	0,01
320	2,85	0,0069	0,55	3	-2,45	10,91

Здесь: =284, _В = =12,65 вычислены в примере 33; n=100 по условию; h=270-260=10 – шаг выборки; n = = =79,05(z_i).

Таким образом, получаем, что =17,66.

По таблице критических точек распределения приложения 4 при заданном =0,05 и k = s – 3 = 7 – 3 = 4 (s – число групп выборки) находим (; k)= (0,05; 4)=9,5.

Т.к. > (17,66 > 9,5), то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности не согласуется с данными выборки.

Ответ: гипотеза не согласуется с данными выборки.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные варианты х_i , а во второй строке – соответственные частоты n_i количественного признака Х). Требуется, пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости =0,05, установить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки объема n=100.

1.1)

хi	102	112	122	132	142	152	162
ni	4	6	10	40	20	12	8

1.2)

хi	10,6	15,6	20,6	25,6	30,6	35,6	40,6
ni	8	10	60	12	5	3	2

1.3)

хi	26	32	38	44	50	56	62
ni	5	15	40	25	8	4	3

1.4)

хi	12,4	16,4	20,4	24,4	28,4	32,4	36,4
ni	5	15	40	25	8	4	3

1.5)

хi	110	115	120	125	130	135	140
ni	5	10	30	25	15	10	5

1.6)

хi	45	50	55	60	65	70	75
ni	4	6	10	40	20	12	8

1.7)

хi	10,2	10,9	11,6	12,3	13	13,7	14,4
ni	8	10	60	12	5	3	2

1.8)

хi	11,5	12	12,5	13	13,5	14	14,5
ni	5	15	40	25	8	4	3

1.9)

хi	104	109	114	119	124	129	134
ni	4	6	10	40	20	12	8

1.10)

хi	105	110	115	120	125	130	135
ni	4	6	10	40	20	12	8

Пример 5.2. Критерий Вилкоксона

Допустим мы сравниваем между собой уровень тревожности студентов до и после тренинга уверенности в себе.

Шаг 1. Запишем значения в таблицу.

Шаг 2. Рассчитаем разность значений. Для данного случае типичным сдвигом будет считаться сдвиг в отрицательную сторону (7 значений, красный цвет заливки), а нетипичным в положительную сторону (3 значения, зеленый цвет заливки)

Шаг 3. Найдем значения шага 2 по модулю

Шаг 4. Проранжируем значения по модулю.

Шаг 5. Найдем T эмпирическое вычислив сумму рангов в НЕтипичном направлении (зеленый цвет заливки).

Все четыре шага приведены в таблице.

№	Уровень тревожности (до тренинга)	Уровень тревожности (после тренинга)	Шаг 2: Разность (после-до)	Шаг 3: Значение разности по модулю	Шаг 4: Ранг разности
1	15	14	-1	1	3
2	14	11	-3	3	8
3	16	17	1	1	3
4	18	19	1	1	3
5	21	20	-1	1	3
6	21	18	-3	3	8
7	20	15	-5	5	10
8	15	17	2	2	6
9	17	14	-3	3	8
10	13	12	-1	1	3

Шаг 6. Используя таблицу критических значений T-критерия Вилкоксона определяем T-критическое

6.1. Находим количество человек в выборке. n=10

6.2. Определяем T-критическое справа от значения количества человек в выборке. для p<0,05 T=10; для p<0,01 T=5

Шаг 7. Сравниваем T-критическо и T-эмпирическое.

Шаг 8 Делаем выводы.

Задачи для самостоятельного решения:

2. Проверить однородность двух выборок по критерию Вилкоксона

21.1)

хi	11,5	12	12,5	13	13,5	14	14,5
ni	5	15	40	25	8	4	3

хi	11,5	12	12,5	13	13,5	14
ni	6	15	45	22	8	4

2.2)

хi	26	32	38	44	50	56	62
ni	5	15	40	25	8	4	3

хi	26	32	38	44	50	56
ni	6	13	41	27	10	3

2.3)

хi	12,4	16,4	20,4	24,4	28,4	32,4	36,4
ni	5	15	40	25	8	4	3

хi	12,4	16,4	20,4	24,4	28,4	32,4
ni	3	17	46	24	7	3

2.4)

хi	110	115	120	125	130	135	140
ni	5	10	30	25	15	10	5

хi	110	115	120	125	130	135
ni	4	12	38	24	17	5

2.5)

хi	45	50	55	60	65	70	75
ni	4	6	10	40	20	12	8

хi	45	50	55	60	65	70
ni	4	7	21	44	20	4

Занятие 6

Дисперсионный анализ. Однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ.