§ 2. Интервальные оценки. Доверительная вероятность

Выборочная совокупность. Метод моментов. Интервальные оценки параметров генеральной совокупности. Доверительная вероятность.

Пример 2.1. Дана выборка объема n=10:

хi	-2	1	2	3	4	5
ni	2	1	2	2	2	1

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

Решение: вычислим по определению выборочную среднюю

= (-22 + 11 + 22 + 32 + 42 + 51) = 2;

D_В = = - 2² = [(-2)²2 + 1²1 + 2²2 + 3²2 + 4²2 + 5²1] – 4 = = 5,2  s=  2,4.

Пользуясь таблицей приложения 3 по  = 0,95 и n = 10, находим t_=2,26, тогда искомый доверительный интервал примет вид: , т.е. .

Ответ: .

Пример 2.2. Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные варианты х_i, а во второй строке – соответственные частоты n_i количественного признака Х). Требуется найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а с заданной надежностью =0,95.

хi	260	270	280	290	300	310	320
ni	5	15	40	25	8	4	3

Решение: 1. Для нахождения и D_В методом произведений составим расчетную таблицу (в качестве ложного нуля выбираем С=280, т.е. u₃=0, значит, u₂= 1, u₁= 2, u₄=1, u ₅ = 2, u₆ = 3, u₇ = 4):

хi	ni	ui	niui	niu
260	5	2	10	20
270	15	1	15	15
280	40	0	0	0
290	25	1	25	25
300	8	2	16	32
310	4	3	12	36
320	3	4	12	48
	100		40	176

Вычислим условные моменты: = =0,4; = =1,76.

Теперь, зная ложный ноль С=280 и шаг выборки h=270 – 260 =10, вычисляем выборочную среднюю: =100,4+280=284; выборочную дисперсию: = (1,76 – 0,4²)10² = 160; выборочное среднее квадратическое отклонение: _В = = 12,65.

2. Доверительный интервал.

D_В=160  s= =  12,71.

Пользуясь таблицей приложения 3 по  = 0,95 и n = 100 находим t_=1,984, тогда искомый доверительный интервал примет вид: , т.е. .

Ответ: 1. а) =284, б) _В =12,65; 2. .

Задачи для самостоятельного решения:

1) Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные варианты х_i , а во второй строке – соответственные частоты n_i количественного признака Х). Требуется найти:

1. Методом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а нормально распределенной случайной величины Х с заданной надежностью =0,95.

1.1)

хi	102	112	122	132	142	152	162
ni	4	6	10	40	20	12	8

1.2)

хi	10,6	15,6	20,6	25,6	30,6	35,6	40,6
ni	8	10	60	12	5	3	2

1.3)

хi	26	32	38	44	50	56	62
ni	5	15	40	25	8	4	3

1.4)

хi	12,4	16,4	20,4	24,4	28,4	32,4	36,4
ni	5	15	40	25	8	4	3

1.5)

хi	110	115	120	125	130	135	140
ni	5	10	30	25	15	10	5

1.6)

хi	45	50	55	60	65	70	75
ni	4	6	10	40	20	12	8

1.7)

хi	10,2	10,9	11,6	12,3	13	13,7	14,4
ni	8	10	60	12	5	3	2

1.8)

хi	11,5	12	12,5	13	13,5	14	14,5
ni	5	15	40	25	8	4	3

1.9)

хi	104	109	114	119	124	129	134
ni	4	6	10	40	20	12	8

1.10)

хi	105	110	115	120	125	130	135
ni	4	6	10	40	20	12	8

Занятие 3

Критерии согласия. Проверка статистических гипотез. Критерии согласия для средних, для дисперсий.