Розв’язки завдань і туру Всеукраїнських учнівських олімпіад з фізики 2010-2011 н.Р.

9 клас

1. Всього на ескалаторі у “час пік” поміщується кількість людей n = 2Lcos(α)/l загальною масою M = nm та вагою P = nmg. Ескалатор має переміщувати людей із вертикальною швидкістю u = vsin(α). Таким чином, корисна механічна потужність ескалатора дорівнює N = Pu, а мінімальна потужність електродвигуна із врахуванням ККД механічної частини ескалатора дорівнює N_min = N/η = Pu/η = nmgvsin(α) /η = 2Lmgvcos(α)sin(α) /η = mgLvsin(2α) /η ≈ 70 кг * 10 м/с² * 100 м * 1,2 м|c * 0,7 / (0,5 м * 0,7) ≈ 170 кВт.

2. Опір амперметра R_A дорівнює відношенню напруги U₂ на ньому до сили струму І, що проходить через амперметр: R_A = U₂/І = 0,1 кОм. Позначимо через R_V опір вольтметрів. Через вольтметр V₁ проходить струм силою І₁ = U₁/R_V, який розгалужується на струм, що проходить через вольтметр V₂: І₂ = U₂/R_V та струм силою І, що проходить через амперметр: U₁/R_V = U₁₂/R_V + І. Звідси R_V, = (U₁ - U₂)/І = 0,9 кОм.

3. Коли жук доповзе до кінця лінійки, умова її рівноваги, у відповідності до правила важеля, можна записати у вигляді: Mgx₀ = 0,2Mg((ℓ/2) – x₀). Звідси x₀ = ℓ/12 = πR/6. Якщо α – кут між лінійкою та горизонтом у момент, коли відстань від точки дотику лінійки та циліндру до центру лінійки дорівнює х, то при повороті лінійки на кут Δα зміна х дорівнює Δх = RΔα. Отже, коли жук доповзе до кінця лінійки, вона повернеться на кут α₀ = х₀/R = π/6. Діюча на лінійку з боку циліндра сила реакції опори спрямована вертикально, тобто під кутом α до нормалі до поверхні в точці дотику лінійки із циліндром. Тоді відношення сили тертя спокою F_тер до нормальної складової N сили реакції опори дорівнює F_тер/N = tg(α). Оскільки максимальна величина сили тертя спокою дорівнює F_тер = μN, перекочування лінійки по циліндру буде відбуватися без проковзування за значень коефіцієнта тертя між циліндром та лінійкою, що задовольняють нерівності: μ > tg(α_max) = tg(α₀) = tg(π/6), тобто μ > 1/√3 ≈ 0,58.

4. а ) Школяр почне бачити зображення своїх очей тоді, коли пряма, яка сполучає око із його зображенням, пройде через дзеркало. Це відбудеться в момент, коли відстань від школяра до дзеркала L₁ буде таким, що h/L₁ = tg(α). Звідси L₁ = h/tg(α).

б) Нехай α < 45⁰. Тоді школяр побачить своє зображення у дзеркалі у повний зріст в момент, коли пряма, що сполучає очі школяра із зображенням його ніг, пройде через дзеркало. Як випливає із відповідної побудови, це відбудеться, коли відстань L₂ від школяра до дзеркала буде таким, що h/L₂ = tg(2α). Звідси L₁ = h/tg(2α).

Розв’язки завдань і туру Всеукраїнських учнівських олімпіад з фізики 2010-2011 н.Р.

10 Клас

1. О беремо координатні вісі X та Y, як показано на малюнку. Тоді у момент t_п перестрибування цвіркуном краю коробу проекція його швидкості на вісь Y має бути рівною нулеві, а координата y = h. Тоді можна записати такі співвідношення:

V_0y + a_yt_п = 0; V_0y t_п + a_yt_п²/2 = h, де

a_y = -g cos(α) та V_0y – проекції векторів прискорення та початкової швидкості цвіркуна на вісь Y.

Тоді h = V_0y² / (2g cos(α)).

При фіксованих значеннях кута α і початкової швидкості V₀ максимальна висота підйому над дном короба досягається при V_0y = V₀, цвіркуну потрібно стрибати під прямим кутом до дна короба. Тоді:

cos(α) = V₀² / 2gh ≈ 0,87

α = arcos (0,87) ≈ 30⁰.

Вздовж вісі Х цвіркун за час t_п зміститься на відстань ℓ = a_x t_п²/2, де а_{х =} gsin(α). Звідси ℓ = V₀² sin(α)/[2gcos²(α)] ≈ 30 см.

2. При повільному підвищенні рівня води у посудині можна вважати, що у будь-який момент часу кубик знаходиться у стані рівноваги. Враховуючи, що на нього діють сили тяжіння mg, пружності F_пр та Архімеда F_А, запишемо умову рівноваги кубика:

F_пр + F_А = mg.

За час Δt пружина скоротиться на v₂Δt, а об’єм зануреної у воду частини кубика збільшиться на (v₁ - v₂)Δtа². Тому сила пружності зміниться на ΔF_пр = -kv₂Δt, а сила Архімеда – на ΔF_А = (v₁ - v₂)Δtа²ρg. Враховуючи, що ΔF_пр + ΔF_А = 0, отримаємо після спрощення: v₂ = v₁(ρgа²)/( ρgа² + k).

Із такою швидкістю кубик буде спливати, поки він цілком не опиниться під водою. При подальшому заповненні посудини водою швидкість кубика буде дорівнювати 0.

3. В положенні рівноваги видовження пружин дорівнюють Mg/k. Після обриву ниті, на якій висить вантаж 3, прискорення вантажів 1 та 2 будуть приблизно у 200 разів меншим прискорення дошки із шайбою. Тому будемо вважати вантажі 1 і 2 нерухомими під час розгону шайби. Із такою ж точністю можна протягом цього інтервалу часу знехтувати силою тяжіння, що дії на шайбу, у порівнянні із силою пружності пружини. В межах цієї моделі шайба із легкою дошкою рухаються тільки під дією сили пружності двох пружин. Тоді максимальну висоту h підйому шайби можна оцінити за допомогою закону збереження механічної енергії: потенціальна енергія пружини U = 2k(Mg/k)²/2 переходить у потенціальну енергію шайби W = 0,01Mgh. Звідси h ≈ 100Mg/k.

4. Пронумеруємо нелінійні елементи так, як показано на малюнку. Нехай U₂ – напруга на елементі 2, тоді на кожному із послідовно з’єднаних елементів 3 та 4 спадає напруга U₂ /2. Отже, сила струму, що проходить через елемент 2, дорівнює I₂ = αU₂², а струм, що проходить через елементи 3 та 4, дорівнює I₃ = αU₂²/4. Таким чином, сила струму, що проходить через амперметр, батарейку та елемент 1, дорівнює I₀ = I₂ + I₃ = 5αU₂²/4. Напруга на елементі 1 визначається із співвідношення I₀ = αU₁², звідки U₁ = √(I₀/α) = (√5/2)U₂. Таким чином, напруга на батарейці дорівнює U₀ = U₁ + U₂ = (1 + (√5/2)) U₂, звідки U₂ = U₀/(1 + (√5/2)), та

I₀ = αU₀²(5/4)/ (1 + (√5/2))² = 5αU₀²/(9 + 4√5) = 5αU₀²(9 - 4√5).