Розв’язки завдань і туру Всеукраїнських учнівських олімпіад з фізики 2010-2011 н.Р.

7 клас

1. Проведемо уявні площини перпендикулярно серединам ребер. В результаті кристал розділиться на кубики, у кожному з яких буде знаходитись рівно по одному атому. Нехай кристал має об’єм V і містить N атомів. Тоді густина металу ρ = Nm₀/V = m₀/(V/N) = m₀/V₀, де V₀ = V/N – об’єм, що приходиться на один атом. Звідси V₀ = m₀/ ρ ≈ 1,18*10^-29 м³ = 1,18*10^-20 мм³.

2. Нехай за проміжок часу Т від одного протистояння до іншого Марс здійснює k обертів, а Земля – (k + 1) оберт. Цей проміжок часу можна виразити через періоди обертання Землі та Марсу навколо Сонця Т_З і Т_М наступним чином: Т = (k + 1)Т_З = kТ_М. Звідси знаходимо k = Т_З/(Т_М - Т_З) та Т = Т_ЗТ_М/(Т_М - Т_З). В результаті підстановки значень періодів обертання планет отримаємо відповідь Т ≈ 779 днів.

3. Нехай дощ йшов протягом часу t. Тоді шлях, пройдений автобусом за цей час, дорівнював v₂t, де v₂ – швидкість руху під дощем. Час, протягом якого автобус проїхав відстань, яка залишалася, дорівнював S/v₃t, де v₃ – швидкість руху на останній ділянці маршруту. Оскільки автобус повернувся без запізнення, то проміжок часу із моменту початку дощу до моменту прибуття до школи має дорівнювати проміжку часу, необхідного для подолання точно такої ж відстані тільки із початковою швидкістю v₁: t + S/v₃ = (v₂t + S)/ v₁. Звідси знаходимо відповідь: t = (v₁/( v₁ - v₂))( S/v₁ - S/v₃) = (S( v₃ - v₁))/ (v₃( v₁ - v₂)) = 16 хвилин.

4. Якщо заєць буде тікати зі швидкістю 11 м/с, то вовк буде наближатися до зайця протягом перших 10 с із швидкістю 3 м/с, протягом наступних 10 с – із швидкістю 2 м/с. Тому вовк дожене зайця. Якщо заєць буде тікати зі швидкістю 12 м/с, то вовк буде наближатися до зайця протягом перших 10 с із швидкістю 2 м/с, протягом наступних 10 с – із швидкістю 1 м/с. За 20 с відстань між ними зменшиться на 30 м і далі припинить збільшуватись. Заєць втече від вовка. Таким чином, шукана мінімальна швидкість зайця має лежати в межах від 11 м/с до 12 м/с. Позначимо цю швидкість через (12 - u) м/с, де 0<u<1. За перші 10 с вовк наближається до зайця із швидкістю (2 + u) м/с, за наступні 10 с – із швидкістю (1 + u) м/с, за наступні 10 с – із швидкістю (u) м/с. Отже, за 30 с відстань між героями зменшиться на 10(2 + u) + 10(1 + u) + 10u метрів. Таким чином, заєць втече від вовка, якщо 30 + 30u < 36, або u < 0,2. Тобто, швидкість зайця має перевищувати величину 11,8 м/с.

Розв’язки завдань І туру Всеукраїнських учнівських олімпіад з фізики 2010-2011 н.р.

8 клас

1. За однаковий час перший та другий автобуси проїхали відстані 16 км та 20 км відповідно. Отже, відношення їх швидкостей v₁/v₂ = ℓ₁/ ℓ₂ = 16/20 = 0,8. За умовою, за інтервал часу, протягом якого другий автобус проїжджав шлях L, перший автобус встигав проїхати шлях L – 20 (км). Тоді, L/v₂ = (L – 20)/v₁. Із врахуванням співвідношення швидкостей, L = 20/(1 - v₁/v₂) = (20 км)²/(20 км – 16 км) = 100 км. Далі, за умовою: Δt = Δℓ(1/v₁ - 1/v₂) = Δℓ/v₁(1 - v₁/v₂) = 0,2Δℓ/v₁. Звідси v₁ = 0,2Δℓ/ Δt = 60 км/год; v₂ = v₁/0,8 = 75 км/год.

2. Зробимо малюнок та введемо на ньому такі позначення: К – Київ; R – Біла Церква; АВ – ділянка, яку маршрутка проїхала під дощем за шуканий час t; АС – ділянка, яку проїхала б маршрутка, якби дощу не було:

Вочевидь, ВС = АС – АВ = (v₁ - v₂)t. З іншого боку, маршрутка пройшла відрізок шляху КА + АВ + СR за той саме час, за який було заплановано пройти весь шлях КR. Отже, ВС = v₁Δt, де Δt = 10 хв – час, на який спізнилась маршрутка відносно графіка. Порівнюючи отримані вирази, маємо: (v₁ - v₂)t = v₁Δt, звідки t = v₁Δt/(v₁ - v₂) = 70 км/год * 0,6 год / (70 км/год – 50 км/год) = 2,1 год = 2 год 6 хв.

3. Зображенням точки А у першій лінзі буде точка С, а зображенням точки В – точка О’, тобто зображенням відрізку АВ є відрізок СО’. Зображення цього відрізку у другій лінзі розіб’ється на два нескінчених промені: відрізок О’F’₁ утворить уявне зображення О’F’₁С і далі до нескінченості; відрізок СF’₁ утворить дійсне зображення від точки А’ до нескінченості.

4. За допомогою побудови визначимо положення фокусів лінзи. Із умови випливає, що S’ – це уявне зображення. Отже, проведемо через точку S деяку пряму, не паралельну до головної оптичної осі. Точка В – це точка перетину цієї прямої із площиною лінзи. Світловий промінь після заломлення у точці В буде проходити таким чином, щоб його продовження пройшло через зображення S’. Далі, через оптичний центр лінзи О проводимо пряму, паралельну SВ. Перетин цієї прямої із прямою S’В утворює положення побічного фокусу F’.

Тепер потрібно провести другу побудову, яка безпосередньо розв’язує поставлену задачу. Будуємо пряму S₁В₁, паралельну SВ. Після заломлення у точці В₁ промінь має пройти через побічний фокус F’. Його перетин із головною оптичною віссю (точка S₁’) і є зображенням джерела S₁.