6. Свойства обратной решетки

Для трехмерного случая, если a, b и c – базисные векторы трансляции прямой решетки, то соответствующие векторы обратной решетки a*, b* и c* определяются следующими векторными соотношениями:

, , .

Произведение – объем прямой решетки.

Вектор обратной решетки записывается через элементарные векторы обратной решетки:

, где h, k, l – индексы Миллера.

Свойства обратной решетки играют основную роль в теории твердых тел.

Свойства:

Каждый вектор обратной решетки перпендикулярен некоторому множеству плоскостей прямой решетки.

Если компоненты вектора не имеют общего множителя, то абсолютная величина обратно пропорциональная расстоянию между плоскостями решетки, перпендикулярными вектору .

Объем элементарной ячейки обратной решетки обратно пропорционален объему элементарной ячейки прямой решетки.

Прямая решетка является обратной по отношению к своей обратной решетке.

Элементарная ячейка обратной решетки не обязательно представляет собой параллелепипед. Почти всегда используют ячейку Вигнера–Зейтца в обратной решетке, называемая зоной Бриллюэна.

7) Теорема Блоха

Теорема Блоха — важная теорема физики твёрдого тела, устанавливающая вид волновой функции частицы, находящейся в периодическом потенциале. Названа в честь швейцарского физика Феликса Блоха. В одномерном случае эту теорему часто называют теоремой Флоке.

Собственные состояния одноэлектронного гамильтониана:

где потенциал U(r) периодичен по всем векторам R решётки Бравэ, могут быть выбраны таким образом, чтобы их волновые функции имели форму плоской волны, умноженной на функцию, обладающую той же периодичностью, что и решётка Бравэ:

где

для всех R, принадлежащих решётке Бравэ. Индекс n называют номером зоны. Его появление связано с тем, что при произвольном фиксированном волновом векторе частицы k, система может иметь много независимых собственных состояний

Пояснения к формулировке

В теореме рассматривается идеальный бесконечный кристалл. Это означает, что в нём отсутствуют дефекты и он обладает трансляционной симметрией. При дальнейшем построении теории, нарушения периодичности решётки обычно считаются малыми возмущениями. Кроме того, в реальном кристалле электроны взаимодействуют между собой, что должно отразиться на гамильтониане системы добавлением соответствующего члена. В формулировке теоремы, однако, используется приближение невзаимодействующих электронов, что позволяет рассматривать одночастичный гамильтониан.

8. Бриллюэ́на зо́ны,

области значений волнового вектора k, при которых энергия электронов изменяется непрерывно, а на границах претерпевает разрыв. Понятие зон Бриллюэна используется в теории твердого тела. Предложено Л. Бриллюэном в 1930 г.Волновой вектор k является одной из основных характеристик состояния электрона в твердом теле. В соответствии с зонной теорией, электрон в кристалле не может иметь непрерывный спектр значений энергий, поэтому и на зависимости энергии электронов Е(k) также должны быть исключены участки, соответствующие запрещенным зонам, т. е. кривая Е(k) должна иметь разрывы в некоторых точках. зоной Бриллюэна понимают совокупность всех неэквивалентных векторов к, ни один из которых нельзя укоротить путем добавления к нему какого-либо вектора трансляции обратной решетки  Следовательно, если к короче всех эквивалентных ему векторов, то он лежит внутри первой зоны Бриллюэна. Вторую зону Бриллюэна образует совокупность всех неэквивалентных векторов, которые выходят за границы первой зоны, но не могут быть укорочены путем добавления Аналогичным образом определяются последующие зоны.

векторы  лежащие на границе зон Бриллюэна, удовлетворяют следующему простому соотношению:

В двух- и трехмерной кристаллической решетке границами зон будут соответственно отрезки прямой или плоскости, перпендикулярные к векторам  В одномерном случае

Для построения зон Бриллюэна в общем случае в одном из узлов обратной решетки выбирается начало координат для вектора к, Из начала координат к ближайшим узлам решетки проводятся векторы Плоскости, проходящие через середины этих векторов и перпендикулярные к ним, ограничивают первую зону Бриллюэна. После этого проводятся векторы   к следующим ближайшим узлам и перпендикулярные к  плоскости. Между плоскостями, ограничивающими первую зону, и новыми плоскостями заключены объемы  -пространства, которые в совокупности образуют вторую зону Бриллюэна.Структура зон Бриллюэна определяется только строением кристалла и не зависит от рода частиц, образующих кристалл, или от их межатомного взаимодействия. Границы зон Бриллюэна определяют условием, эквивалентным условию Вульфа-Брэгга для интерференционных максимумов при рассеянии рентгеновских лучей в кристалле. Это позволяет построить по рентгенограммам его зону Бриллюэна.Физический смысл границ зоны Бриллюэна заключается в том, что они показывают такие значения волновых векторов или квазиимпульсов электрона, при которых электронная волна не может распространяться в твердом теле.Существование большого числа зон Бриллюэна не означает, что необходимо рассматривать энергию электрона в каждой из них: любое состояние электрона можно выразить посредством вектора k, в пределах зоны Бриллюэна, приведенной к первой зоне.