4. Индексы Миллера

Плоскости, проведенные через узлы (атомы) кристаллической решетки называются кристаллографическими плоскостями.

Для обозначения кристаллографических плоскостей и направлений обычно используют индексы Миллера. Они представляют собой целые числа h, k, l, которые обратно пропорциональны длинам отрезков, отсекаемых кристаллографической плоскостью на осях координат. Другими словами индексы Миллера можно представить следующим образом:

где a, b, c - длины отрезков отсекаемых плоскостью на координатных осях X, Y, Z.

Для того чтобы наглядно представить индексы Миллера, элементарную ячейку кристалла изображают на фоне пространственной системы координат. За единицу измерения вдоль каждой оси принимается период решетки, т. е. длина ребер элементарной ячейки. Индексы Миллера принято обозначать в скобках (hkl). Например Миллера для плоскости, пересекающей оси координат в точках х= 1, у= ¥, z= ¥, индексы Миллера будут(100).

Прямые, проведенные через узлы решетки, называются кристаллографическими направлениями.

Для индицирования кристаллографических направлений используют аналогичные обозначения, но при этом применяют квадратные, а не круглые скобки. Так, например, пространственная диагональ простой кубической решетки имеет направление [111].

5. Периодические функции

Чтобы определить физическую модель кристаллической структуры, надо задать значения некоторой функции пространственных координат f(r) (это может быть локальная концентрация электронов, электростат.потенциал и т.д.).эту функцию надо связать с расположением атомов (фиг.6).

Условие трансляционной симметрии состоит в том, что она должна быть периодической функцией трех переменных

f(r+l)=f(r) (1.5)

Равенство (1.5) должно выполняться во всех точках пространства r, и для всех векторов трансляции.

Нам хорошо знакомы периодические функции для одного измерения. Так, для функции, изображенной на рис.7, мы имеем

f(x+l)=f(x) (1.6)

где имеет вид , причем – период функции, а – целое число.

Также любую периодическую функцию можно разложить в ряд Фурье

(1.7)

где – целое число. Запишем это в виде

, (1.8)

где величины взяты из набора обратных длин решетки

(1.9)

Коэффициенты в (1.8), как хорошо известно, даются выражением

; (1.10)

Область интегрирования в данном случае будет, например 0< ≤ – она должна совпадать с одной элементарной ячейкой решетки простейшее доказательство того, что из выражения (1.8) следует условие периодичности (1.6), можно получить, воспользовавшись равенством

, (1.11)

справедливым для любого и для всех трансляций . Справедливость этого равенства следует из того, что

, (1.12)

если принимает одно из разрешенных значений и . Вывод формулы (1,10) также вытекает из равенства(1.11). Мы не рассматриваем здесь патологические функции и поэтому можем свободно пользоваться наивной теорией Фурье.

Распространение этих теорем на структуру с тремя прямоугольными координатными осями не представляет труда. Если в качестве осей взяты и

, (1.13)

то

, (1.14)

где каждое из чисел и т.д. есть обратная длина из набора и т.д. Эти соотношения можно получить, представляя вначале функцию в виде ряда Фурье по координате и показывая затем, что каждый коэффициент разложения есть периодическая функция y; соответственно его можно разложить в ряд Фурье (аналогично рассуждаем и для координаты z).

Перепишем выражение (1.14) в виде

, (1.15)

где есть вектор с компонентами ( ). Этот вектор обладает свойством типа (1.11), т.е. для любого вектора

, (1.16)

каков бы ни был вектор . Таким образом,

. (1.17)

для всех векторов решетки и для всех векторов обратной решетки .

Очевидно, свойства (1.17) достаточно, чтобы ряд (1.15) представлял функцию типа (1.5), обладающую периодичностью решетки:

. (1.18)

Нетрудно убедиться и в необходимости этого условия, т.е. доказать, что сумма (1.5) может содержать лишь те слагаемые, которые соответствуют векторам , удовлетворяющим условию (1.17).

Остается лишь построить векторы обратной решетки для непрямоугольной решетки. Это легко сделать следующим образом. Примем в качестве тройки базисных векторов обратной решетки следующие:

, (1.19)

и напишем

, (1.20)

где и т.д. – целые числа.

Из простых формул векторного анализа следует, что и т.д. и и т.д., поэтому

= = . (1.21)

Таким образом, любой вектор из набора (1.20) удовлетворяет условию (1.17).

Можно написать также формулу типа (1.10) для коэффициентов разложения (1.15). Она имеет вид

(1.22)

Доказательство можно получить, умножая ряд на и интегрируя почленно. Интеграл от по элементарной ячейке, очевидно, равен нулю, если вектор имеет вид (1.20). исключение составляет лишь случай