1. Метод начальных параметров при расчете балки на изгиб

В качестве исходного уравнения метода начальных параметров принимается дифференциальное уравнение 4^-го порядка:

, (1.1)

где - жесткость балки, - прогиб, - нагрузка.

Это уравнение устанавливает зависимость между погибом балки и внешней нагрузкой . В данном случае возможно найти изогнутую ось балки непосредственно по виду внешней нагрузки, не прибегая к предварительному ее статистическому расчету и не составляя выражения изгибающего момента по участкам. Решение уравнения (1.1) примет вид:

(1.2)

где - произвольные постоянные интегрирования.

Поскольку 3! = 6 и 2! = 2, получим:

(1.3)

При этом - частное решение неоднородного уравнения (1.1) - вычисляется по формуле:

(1.4)

Сущность метода начальных параметров состоит в том, что произвольным постоянным интегрирования придан физический смысл, заключающийся в том, что:

- прогиб в начале координат есть постоянная , уменьшенная в раз:

- угол наклона оси балки в начале координат есть постоянная , уменьшенная в раз:

-изгибающий момент в начале координат есть постоянная с противоположным знаком:

-перерезывающая сила в начале координат есть постоянная с противоположным

знаком:

В связи с этим введем обозначения:

Получим выражение для определения прогиба в любой точке изогнутой балки:

(1.5)

Начало координат выбрано на левом конце балки, что обычно имеет место при проведении практических расчетов. Следовательно, указанные величины представляют прогиб, угол поворота, изгибающий момент и перерезывающую силу на левом конце балки. Последнее слагаемое в формуле (1.5) соответствует внешней нагрузке, приложенной к балке, и вычисляется в зависимости от вида нагрузки согласно теории сопротивления материалов.

Подставляя соответствующее приложенной нагрузке выражение , приходим к уравнению, определяющему прогиб в любой точке оси балки с точностью до четырех начальных параметров.

Для нахождения прогиба балки необходимо найти все четыре неизвестные постоянные Два из четырех параметров определяются сразу же из граничных условий, поставленных на левом конце балки. Для двух других начальных параметров необходимо сформулировать два граничных условия на другом ее конце. После определения всех четырех неизвестных постоянных, полностью найдем прогиб балки.

Первая производная по x выражения (1.5) позволяет получить выражение для угла поворота оси балки. Для вычисления изгибающего момента и перерезывающей силы используются известные соотношения сопротивления материалов:

(1.6)

Т.е., для вычисления характеристик балки нужно продифференцировать выражение (1.5) для прогиба по x до третьей производной.

2. Применение метода начальных параметров к поставленной задаче

Задача: Задана балка, выполненная из одного материала, с жестко заделанным левым и свободно опертым правым концом, длиной , нагруженная на части длины гидростатической нагрузкой

_{Рисунок 2.1. – Расчетная схема}

Решение в общем виде имеет вид:

(2.1)

Для рассматриваемого случая:

(2.2)

Тогда выражение для определения прогиба запишется в виде:

(2.3)

Чтобы получить формулы для определения величин угла поворота, изгибающего момента и перерезывающей силы, необходимо соответственно найти первую, вторую и третью производные ν по х из выражения :

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

Для определения величин начальных параметров служат граничные условия (условия закрепления концов балки). В данной задаче балка жестко закреплена слева (x=0) и свободно опёрта на правом конце (x=l). Следовательно, в начале балки прогиб и угол поворота равняются нулю, а на конце балки прогиб и изгибающий момент равны нулю.

Приравняем к нулю выражения и при : :

(2.9)

Получаем:

(2.10)

Далее приравниваем к нулю выражения и при : :

(2.11)

Подставим в последнее уравнение и умножим обе части первого уравнения на . В результате получим следующую систему:

(2.12)

Решим данную систему относительно методом Крамера:

(2.13)

(2.14)

(2.15)

Тогда:

(2.16)

(2.17)