Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ АКАДЕМИКА И.Г.ПЕТРОВСКОГО»

(БГУ)

Естественно-научный институт

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Реферат

«Примарные и бипримарные группы»

Выполнил:

магистрант 1 курса 2 группы

направления 01.04.01 «Математика»

Клопов Н.В

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Сорокина М.М.

СОДЕРЖАНИЕ

Y

Введение 3

Глава 1. Предварительные сведения 5

1.1. Определения и обозначения, используемые в работе 5

1.2. Используемые результаты 7

Глава 2. Примарные и бипримарные группы 10

2.1. Примарные группы и их простейшие свойства 10

2.2. Теоремы Силова 12

2.3. Свойства силовских подгрупп 15

2.4. Бипримарные группы 16

Заключение 18

Список литературы 19

Введение

Теория групп ‒ раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом.

Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом.

У теории групп имеется три исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия. Математики, стоящие у истоков теории групп, ‒ это Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа.

Артур Кэли и Огюстен Луи Коши стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп. Эти учёные также доказали некоторые важные теоремы. Большой вклад в развитие теории групп внесли также многие другие математики XIX века: Бертран, Эрмит, Фробениус, Кронекер и Матьё.

Современное определение понятия «группа» было дано только в 1882 г. Вальтером фон Дюком. Одним из наиболее значительных математических прорывов XX века стала полная классификация конечных групп ‒ результат совместных усилий многих математиков, занимающий более 10 тысяч печатных страниц, основная часть которых опубликована с 1960 по 1980 годы.

В теории групп большую роль играют примарные группы и примарные подгруппы групп. Центральные результаты о таких группах получил норвежский математик Людвиг Силов в 1872 году. 

Теоремы Силова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы  гарантируют существование подгрупп такого порядка.

Реферат имеет следующую структуру. В первой главе приводятся некоторые предварительные сведения, используемые в работе. Основное содержание данного реферата представлено во второй главе. В ней исследованы свойства примарных и бипримарных групп и рассмотрены силовские -подгруппы с изучением основных теорем Силова.

Глава 1. Предварительные сведения

В реферате рассматриваются только конечные группы.

1. Определения и обозначения, используемые в работе

Рассмотрим некоторые основные определения и обозначения, принятые в [7].

Определение 1.1.1. Непустое множество с определенной на ней бинарной алгебраической операцией называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

1. ассоциативность операции на ;

2. ;

3. .

Определение 1.1.2.

1. Группа относительно операции сложения называется аддитивной группой.

2. Группа относительно операции умножения называется мультипликативной группой.

Определение 1.1.3. Группа называется абелевой, если операция коммутативна на , т.е. .

Определение 1.1.4. Группа называется конечной, если она состоит из конечного числа элементов.

Определение 1.1.5.

1. Порядком конечной группы называется число его элементов и обозначается .

2. совокупность всех простых делителей порядка группы , т.е. =p}.

Определение 1.1.6. Непустое подмножество группы называется подгруппой группы и обозначается , если является группой относительно той же операции, что и группа .

Определение 1.1.7. Пусть ‒ группа, Множество называется правым смежным классом группы по подгруппе с представителем .

Аналогично левый смежный класс группы по подгруппе с представителем .

Замечание 1.1.1. Все свойства справедливые для правых смежных классов будут справедливы и для левых смежных классов.

Определение 1.1.8. Пусть ‒ группа. Индексом подгруппы в группе называется число смежных классов в разложении группы по подгруппе и обозначается .

Определение 1.1.9. Подгруппа группы называется нормальной подгруппой и обозначается , если выполняется равенство , .

Обозначение 1.1.1. Пусть ‒ группа, , . Тогда .

Обозначение 1.1.2. Пусть ‒ группа, , . Тогда .

Определение 1.1.10. 1. Пусть ‒ группа, . Элемент называется сопряжённым к элементу , если , такой что .

2. Пусть ‒ группа, , . Множество называется сопряжённым к множеству , если , такой что .

Определение 1.1.10'. Подгруппа группы называется нормальной, если , .

Определение 1.1.11. 1. Пусть – группа, 1 – единичный элемент группы . Подгруппа называется единичной подгруппой группы (обычно единичную подгруппу обозначают 1, т.е. пишут ).

2. Подгруппы и называются тривиальными подгруппами группы .

Определение 1.1.12. Неединичная группа называется простой, если она не имеет нетривиальных нормальных подгрупп.

Замечание 1.1.2. Группа простого порядка является простой группой.

Действительно, пусть , где . Покажем, что – простая группа. Так как , то . Пусть , по теореме Лагранжа или или что – тривиальная подгруппа.

Определение 1.1.13. Нормальная подгруппа группы называется минимальной нормальной подгруппой, если и справедливо: если , то или и обозначается .

Другими словами, не существует такой нормальной подгруппы группы , чтобы .

Определение 1.1.14. Подгруппа группы называется максимальной подгруппой группы и обозначается , если и справедливо: если , то или .

Другими словами, , если и не существует такой подгруппы группы , что .

Определение 1.1.15. Подгруппой Фраттини группы называется пересечение всех максимальных подгрупп группы , если они существуют и сама группа в противном случае и обозначается , то есть , и .

Определение 1.1.16. Пусть – группа.

1. Нормализатором подмножества в группе называется множество всех элементов группы , перестановочных с в целом и обозначается , то есть

2. Централизатором подмножества в группе называется множество всех элементов группы , перестановочных с поэлементно и обозначается , то есть