Алгебра линейных преобразований

Пусть и – два линейных преобразования линейного пространства L.

Определение 6

Суммой преобразований и называется преобразование C такое, что  хL Cх = х + х. Обозначают сумму преобразований C = + .

Например, если :R²R² такое, что  х = [х₁, х₂]R² х = [х₁+х₂, 2х₂], а :R²R² такое, что х = [х₁, х₂] х = [3х₁, х₁ –2х₂], то преобразование C = + такое, что  х = [х₁, х₂]R²

C х = х + х = [х₁+х₂, 2х₂] + [3х₁, х₁ –2х₂] = [4х₁+х₂, х₁].

Пользуясь определением 6, можно доказать, что сумма линейных преобразований есть линейное преобразование:

C (х + у) = (х + у) + (х + у) = х + у + х + у =

= ( + )х + ( + )у = C х + C у,

C (х) = (х) + (х) = ( х) +( ) = ( х + х) = C х.

Найдем матрицу С преобразования C = + .

Пусть преобразования и линейного пространства L в некотором базисе Б имеют соответственно матрицы А и В. Рассмотрим произвольный вектор хL. Обозначим:

Х – координатный столбец вектора х в базисе Б;

– координатный столбец образа у_A = х вектора х при преобразовании в базисе Б;

– координатный столбец образа у_B = х вектора х при преобразовании в базисе Б;

– координатный столбец образа у_C = Cх вектора х при преобразовании C в базисе Б.

Тогда = АХ, = ВХ, = СХ.

Но, согласно определению преобразования C = + , имеем:

C х = ( + )х = х + х,

или, в матричной форме

= + = АХ + ВХ = (А + В)Х,

Получили = СХ и = (А + В)Х, откуда С = А + В. Таким образом, матрица суммы преобразований равна сумме матриц слагаемых.

Определение 7

Произведением оператора на число  называется оператор такой C, что C х = ( х). Обозначается C =  .

Например, если : R²R² такой, что х = [х₁, х₂]R² х = [х₁+х₂, 2х₂], то преобразование ( ) определяет вектор

у = 3( х) = 3[х₁+х₂, 2х₂] = [3х₁+3х₂, 6х₂].

Докажите, что:

1) Если преобразование – линейное, то и  – линейное преобразование.

2) Матрица преобразования C =  равна С = А, где А – матрица преобразования .

Используя операции сложения преобразований и умножения преобразования на число, можно определить операцию вычитания преобразований:

( – )х = ( +(– ))х = х – х.

Матрица такого преобразования, очевидно, равна А – В.

Определение 8

Произведением (композицией) преобразований и называется преобразование C, определяемое равенством Cх = ( х). Обозначается произведение преобразований C = .

Из определения следует, что умножение преобразований означает последовательное их применение.

Например, если преобразование :R²R² такое, что  х=[х₁, х₂]R² х = [х₁+х₂, 2х₂], а преобразование :R²R²такое, что  х = [х₁, х₂]R² = [3х₁, х₁ – 2х₂], то преобразование C = ^. каждому х = [х₁, х₂]R² ставит в соответствие вектор

C х = ( х) = ([3х₁, х₁ –2х₂]) = [3х₁ + (х₁ – 2х₂), 2(х₁ –2х₂)] =

= [ 4x₁ – 2x₂, 2x₁– 4x₂].

Заметим, что преобразование , вообще говоря, не совпадает с преобразованием .

Действительно, например, для рассмотренных выше преобразований и найдем преобразование C₁ = :

C₁ х = ( х) = ([х₁+х₂, 2х₂]) = [3(х₁ + х₁) , х₁+х₂ – 2(2х₂)] =

= [ 3x₁ +3x₂, x₁– 3x₂].

Очевидно, C х ≠ C₁ х.

Пользуясь определением произведения преобразований, можно рассматривать «п-ю степень» преобразования, как последовательное применение этого преобразования п раз:

²х = ( х), ³х = ( ( х)), и т.д.

Докажите, что если и – линейные преобразования, то и – линейное преобразование.

Пусть преобразования и линейного пространства L в некотором базисе Б имеют соответственно матрицы А и В. Найдем матрицу С преобразования C = в этом же базисе. Обозначим:

Х – координатный столбец произвольного вектора х пространства L в базисе Б,

У – координатный столбец вектора х в этом же базисе,

Z – координатный столбец вектора ( х).

Тогда У = ВХ, Z = АУ, Z = СХ. Отсюда имеем

Z = АУ = А(ВХ) = (АВ)Х и Z = СХ ,

значит, С =А^.В.

Таким образом, матрица произведения преобразований равна соответствующему произведению матриц преобразований-сомножителей.

Матрица преобразования ^п (п – натуральное число) равна, очевидно, А^п.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 4

По данному вектору V² построить векторы ( + ) и ( ^. ) , если – симметрия относительно оси ОХ, а – поворот плоскости на 180^о вокруг начала координат против часовой стрелки. Записать матрицы всех этих преобразований в каком-либо базисе.

Пусть – произвольный вектор плоскости, и (х, у) – его координаты в ортонормированном базисе . По условию (рисунок 1) имеем

= (х, – у), = (– х, – у).

Обозначим C = + и = ^. . Тогда

C = ( + ) = (х, – у) + (– х, – у) = (0,–2у),

= ( ^. ) = ( ) = ((–х), –(–у)) = (– х, у)

(

Рисунок 1

последнее преобразование есть, очевидно, симметрия относительно ОУ).

Найдем матрицы этих преобразований в выбранном базисе , для чего найдем координаты образов базисных векторов в этом базисе.

= (1, 0)  , , C = ( + ) = (0, 0),

=( ^. ) = (–1, 0),

= (0, 1)  = (0, –1), = (0, –1), C = ( + ) = (0, –2),

= ( ^. ) = (0, 1).

Значит,

А = , В = ,

С = (сравните с А+В), D = (сравните с АВ).

Заметим, что преобразование C = + – вырожденное.

Рассмотрим невырожденное преобразование .

Определение 9

Преобразование ^–1 , переводящее каждый вектор х в вектор х, называется обратным к преобразованию линейного пространства L.

Можно показать, что справедливо равенство

^{. –1} = ^–1. = .

Если невырожденное преобразование в некотором базисе задается невырожденной матрицей А, то обратное преобразование ^–1 задается в этом базисе матрицей А^–1.

Преобразование, обладающее обратным, называется обратимым преобразованием.

Если обратимое преобразование – линейное, то обратное преобразование ^–1 также линейное, т.к., согласно определению 9,

^–1( + ) = ^–1( ) = = ^–1( )+ ^–1( ),

^–1( ) = ^–1( ) = = ^–1( ).

Очевидно, тождественный оператор является обратным самому себе.

Из полученных результатов следует, что операции над линейными преобразованиями обладают теми же свойствами, что и операции над матрицами, например, сложение коммутативно и ассоциативно:

+ = + , +( + C ) = ( + ) + C ;

умножение ассоциативно, но не коммутативно:

C ( ) = (C ) , ≠ .

Тождественное преобразование играет среди преобразований роль единицы, а нулевое – роль нуля.

Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования

Пусть дана квадратная матрица порядка п

Составим для нее матрицу

(А – Е) =

где  – произвольное число, а Е – единичная матрица. Матрица (А – Е) называется характеристической матрицей матрицы А, а уравнение

| А–Е | = 0 или = 0

называется характеристическим уравнением матрицы А.

Очевидно, определитель | A – Е | является многочленом степени п относительно . Этот многочлен также называют характеристическим многочленом матрицы А, корни этого многочлена называются характеристическими корнями (числами) матрицы А.

Можно доказать, что подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими многочленами, а, значит, и одинаковые характеристические корни.

Как мы знаем, между квадратными матрицами и линейными преобразованиями существует взаимно однозначное соответствие, причем матрицы, задающие линейное преобразование в разных базисах, подобны. Значит, хотя линейное преобразование в разных базисах задается различными матрицами, однако все эти матрицы имеют один и тот же набор характеристических корней. Поэтому характеристические корни матрицы преобразования называют характеристическими корнями самого преобразования. Рассмотрим одно из применений характеристических корней преобразования.

Определение 10

Пусть Lⁿ – линейное пространство, : Lⁿ  Lⁿ – линейное преобразование этого пространства. Ненулевой вектор и называется собственным вектором линейного преобразования , если он этим преобразованием переводится в вектор и, т.е.

и = и,

где  – некоторое действительное число. При этом  называется собственным числом или собственным значением линейного преобразования , соответствующим собственному вектору и.

Поскольку между линейными преобразованиями и матрицами в заданном базисе существует взаимно однозначное соответствие, то введенные понятия могут быть отнесены и к матрицам. Таким образом, если А – квадратная матрица (матрица линейного преобразования в некотором базисе), Х – матрица-столбец координат вектора и  0 (в этом же базисе), то этот вектор называется собственным вектором матрицы А, а число  – собственным числом этой матрицы, если АХ = Х.

Пусть и – собственный вектор линейного преобразования , заданного в некотором базисе Б матрицей А,  – соответствующее этому вектору собственное значение, т.е. и= и, и  0. Обозначим Х = – координатный столбец вектора и в базисе Б, тогда в матричном виде равенство и= и запишется так

АХ = Х  АХ – Х = О, (А – Е)Х = О.

Если А = , то А – Е = ,

и равенство (А – Е)Х = О равносильно системе линейных уравнений

(*)

Поскольку Х – ненулевая матрица-столбец, то эта система имеет нетривиальное решение, что возможно лишь в том случае, когда определитель основной матрицы этой системы равен нулю, т.е. когда выполняется условие .

Следовательно, собственные значения  преобразования (или матрицы А) есть корни уравнения , т.е. действительные характеристические корни этого преобразования (матрицы).

Наоборот, пусть ₀ – характеристический корень преобразования , т.е. ₀ является корнем характеристического многочлена . Тогда при  = ₀ определитель системы (*) равен нулю, следовательно, система имеет нетривиальное решение. Поскольку система (*) равносильна матричному уравнению , или , то решение системы есть столбец Х= , который можно рассматривать как координатный столбец вектора и, удовлетворяющего равенству и = ₀и, т.е. собственного вектора преобразования , соответствующего собственному значению ₀.

Таким образом мы доказали, что действительные характеристические корни линейного преобразования, если они существуют, и только они являются собственными значениями этого преобразования.

Собственное значение называется т-кратным, если оно является т-кратным корнем характеристического уравнения. Если собственное значение – простой корень характеристического уравнения, то его называют простым собственным значением.

Из вышесказанного вытекает алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов преобразования :

1. Выбирают в заданном линейном пространстве произвольный базис.

2. Находят матрицу А преобразования в этом базисе.

3. Находят характеристические числа преобразования , решив уравнение

, т.е.

и выбирают из них действительные, которые и являются собственными значениями. Если нет действительных характеристических корней, то нет ни собственных значений, ни собственных векторов.

4. Составляют систему (7.1)

и, полагая  равным одному из найденных собственных значений _i, находят ненулевое решение Х_i = этой системы. Полученный вектор и_i = Х_i = и есть собственный вектор, соответствующий взятому собственному значению _i.

5. Пункт 4 этого алгоритма повторяют для каждого собственного значения.

Обратите внимание, что поскольку для каждого собственного значения _i система (7. 1) имеет множество решений, то для данного преобразования существует бесконечное число собственных векторов, соответствующих собственному числу _i.

Пример 6

Найти собственные векторы преобразования , заданного матрицей А = .

Решение

Пункты 1 и 2 указанного алгоритма уже выполнены. Рассмотрим сразу третий пункт. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

= = – (1–)(1+) –3 = – (1–²) – 3 = ² – 4,

² – 4 = 0  ₁ = 2, ₂ = –2.

Это действительные числа, значит, они являются собственными значениями.

Составим систему вида (7.1): Найдем решения этой системы для каждого из полученных собственных значений.

При получим Ранг этой системы, очевидно, равен 1, значит, система равносильна одному уравнению , решая которое, находим х₁ = 3х₂. Положим х₂ = t, получим x₁ = 3t, тогда собственный вектор и₁ = (3t, t) соответствует собственному значению .

При получим систему ранг которой также равен 1, поэтому она равносильна уравнению х₁ + х₂ = 0, откуда х₁ = – х₂. При , получим , откуда имеем собственный вектор и₂ = (–s, s), соответствующий собственному значению ₁ = – 2.

Таким образом, имеем семейство собственных векторов и₁ = (3t, t), соответствующих собственному числу ₁ = 2 и семейство собственных векторов и₂ = (– s, s) , соответствующих собственному числу ₁ = – 2.