Лекция 18. Отображения. Линейные преобразования линейных пространств (2ч)

Содержание лекции: Отображения пространств. Линейные отображения, линейные преобразования линейных пространств, матрица преобразования. Характеристические корни матрицы преобразования. Собственные числа и собственные векторы линейных преобразований.

Операции над линейными преобразованиями. Свойства операций.

Свойства собственных значений и собственных векторов. Ортогональные и симметрические преобразования. Приведение симметрической матрицы к диагональному виду.

Отображения, линейные отображения. Примеры.

Основополагающее понятие математического анализа – понятие функции – определяется как соответствие между числовыми множествами Х и У: каждому значению хХ по определенному закону ставится в соответствие единственное значение уУ. Очевидно, в этом определении природа множеств Х и У не играет существенной роли. Это позволяет обобщить понятие функции на случай произвольных множеств. В этом случае вместо термина «функция» употребляется термин «отображение» или «оператор». Здесь мы рассмотрим понятие отображения множеств, являющихся линейными пространствами.

Определение 1

Пусть L и К линейные пространства размерности п и т соответственно. Говорят, что задано отображение линейного пространства L в пространство К, или оператор, переводящий L в К, если задан закон, по которому каждому вектору хL поставлен в соответствие единственный вектор уК. Обозначают : L  К, или L К.

При этом вектор у называют образом вектора х при отображении и обозначают , а вектор х называют прообразом вектора у. Совокупность всех прообразов (множество L) называют областью определения отображения , а совокупность образов (множество К или его подмножество) называют областью значений этого отображения. Пространство К, в частности, может совпадать с пространством L.

Рассмотрим примеры отображений.

1. Отображение : М₂  М_12 такое, что для вектора х = М₂ образ имеет вид у = = М_12.

2. Оператор : V³ R такой, что х  V³ = .

3. Отображение : R²R² такое, что вектору х = [х₁, х₂]R² ставится в соответствие вектор у = = .

4. Отображение : L  L, при котором образом каждого вектора пространства L является сам этот вектор. Такой отображение называется тождественным или единичным и обозначается . Таким образом,  х  L .

5. Оператор : L  К такой, что каждому вектору из L ставит в соответствие нулевой вектор из К . Этот оператор называется нулевым оператором и обозначается O. Таким образом, х  L Oх = 0, где 0 – нулевой вектор пространства К.

Определение 2

Оператор (отображение) : L  К называется линейным, если для любых х₁, х₂L и любого R выполняются условия линейности:

1) (х₁+ х₂) = х₁ + х₂, 2) (х₁) =  х₁.

Чтобы выяснить, является ли заданный оператор линейным, необходимо проверить выполнение обоих условий линейности.

Пример 1

Проверить линейность оператора:

: V³ R , если а  V³ = .

Пустьа₁,а₂ – произвольные векторы пространства V³, заданные в базисе своими координатами:а₁= , а₂ = .

Тогда

а₁ +а₂ = + = ,

=  = .

Отсюда , , , .

Проверим выполнение условий линейности для оператора :

= = + = ,

следовательно, первое условие линейности выполнено;

( ) = =  =  ,

т.е. второе условие линейности тоже выполнено. Значит, рассмотренный оператор – линейный.

Пример 2

Проверить линейность оператора : R²R² , если  х = [х₁, х₂]R² = .

Пусть х = [х₁, х₂], у = [y₁, y₂] – произвольные векторы пространства R². Тогда , .

Проверим выполнение условий линейности для заданного оператора.

= ,

х + у = + = .

Первые компоненты векторов и х + у, очевидно, совпадают. Но

,

т.е. вторые компоненты этих векторов не совпадают, поэтому

≠ х + у.

Следовательно, заданный оператор не является линейным.

Из определения линейного оператора следуют такие свойства:

1. При любом линейном отображении образом нулевого вектора является нулевой вектор, т.е. если оператор – линейный, то

0_L = 0_K.

2. При любом линейном отображении образом вектора, противоположного для данного вектора х, является вектор, противоположный для образа вектора х, т.е. (–а) = – а.