Функции, заданные параметрически.

Рассмотрим задание линии на плоскости, при котором переменные x, y являются функциями третьей переменной t (называемой параметром):

 (2.2)

Для каждого значения t из некоторого интервала соответствуют определенные значения x и y, а, следовательно, определенная точка M (x, y) плоскости. Когда t пробегает все значения из заданного интервала, то точка M (x, y) описывает некоторую линию L. Уравнения (2.2) называются параметрическими уравнениями линии L.

Если функция x = φ(t) имеет обратную t = Ф(x), то подставляя это выражение в уравнение y = g(t), получим y = g(Ф(x)), которое задает yкак функцию от x. В этом случае говорят, что уравнения (2.2) задают функцию y параметрически. 

Пример 1. Пусть M (x, y) – произвольная точка окружности радиуса R и с центром в начале координат. Пусть t – угол между осью Ox и радиусом OM (см. рис. 2.3). Тогда x, y выражаются через t:

Уравнения (2.3) являются параметрическими уравнениями окружности. Исключим из уравнений (2.3) параметр t. Для этого каждое из уравнений возведем в квадрат и сложим, получим: x² + y² = R²(cos²t + sin²t) или x² + y² = R² – уравнение окружности в декартовой системе координат. Оно определяет две функции:  Каждая из этих функций задается параметрическими уравнениями (2.3), но для первой функции   , а для второй   . 

Пример 2. Параметрические уравнения

задают эллипс с полуосями a, b (рис. 2.4). Исключая из уравнений параметр t, получим каноническое уравнение эллипса: 

Пример 3. Циклоидой называется линия, описанная точкой, лежащей на окружности, если эта окружность катится без скольжения по прямой (рис. 2.5). Введем параметрические уравнения циклоиды. Пусть радиус катящейся окружности равен a, точка M, описывающая циклоиду, в начале движения совпадала с началом координат. 

Определим координаты x, y точки M после того, как окружность повернулась на угол t  (рис. 2.5), t = ÐMCB. Длина дуги MB равна длине отрезка OB, так как окружность катится без скольжения, поэтому 

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint), 

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – cost).

Итак, получены параметрические уравнения циклоиды: 

При изменении параметра t от 0 до 2π окружность поворачивается на один оборот, при этом точка M описывает одну арку циклоиды. Уравнения (2.5) задают y как функцию от x. Хотя функция x = a(t – sint) имеет обратную функцию, но она не выражается через элементарные функции, поэтому функция y = f(x) не выражается через элементарные функции.

Рассмотрим дифференцирование функции, заданной параметрически уравнениями (2.2). Функция x = φ(t) на некотором интервале изменения t имеет обратную функцию t = Ф(x), тогда y = g(Ф(x)). Пусть x = φ(t), y = g(t) имеют производные, причем x't≠0. По правилу дифференцирования сложной функции y'x=y't×t'x. На основании правила дифференцирования обратной функции   , поэтому:

Полученная формула (2.6) позволяет находить производную для функции, заданной параметрически.

Пример 4. Пусть функция y, зависящая от x, задана параметрически: 

Решение.  .  Пример 5. Найти угловой коэффициент k касательной к циклоиде в точке M₀, соответствующей значению параметра   .  Решение. Из уравнений циклоиды: y'_t = asint, x'_t = a(1 – cost), поэтому  Угловой коэффициент касательной в точке M₀ равен значению при t₀ = π/4: 

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Пусть функция в точке x₀ имеет производную. По определению:    поэтому по свойствам предела (разд. 1.8)  , где a – бесконечно малая при Δx → 0. Отсюда

Δy = f '(x0)Δx + α×Δx.             (2.7)

При Δx → 0 второе слагаемое в равенстве (2.7) является бесконечно малой высшего порядка, по сравнению с , поэтому Δy и f ' (x₀)×Δx – эквивалентные, бесконечно малые (при f '(x₀) ≠ 0).

Таким образом, приращение функции Δy состоит из двух слагаемых, из которых первое f '(x₀)×Δx является главной частьюприращения Δy, линейной относительно Δx (при f '(x₀)≠ 0).

Дифференциалом функции f(x) в точке x₀ называется главная часть приращения функции и обозначается: dy или df (x₀). Следовательно,

df (x0) =f '(x0)×Δx.     (2.8)

Пример 1. Найти дифференциал функции dy и приращение функции Δy для функции y = x² при:  1) произвольных x и Δx; 2) x₀ = 20, Δx = 0,1. 

Решение 

1) Δy = (x + Δx)² – x² = x² + 2xΔx + (Δx)² – x² = 2xΔx + (Δx)², dy = 2xΔx. 

2) Если x₀ = 20, Δx = 0,1, то Δy = 40×0,1 + (0,1)² = 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Запишем равенство (2.7) в виде: 

Δy = dy + a×Δx.                                 (2.9) 

Приращение Δy отличается от дифференциала dy на бесконечно малую высшего порядка, по сравнению с Δx, поэтому в приближенных вычислениях пользуются приближенным равенством Δy ≈ dy, если Δx достаточно мало.

Учитывая, что Δy = f(x₀ + Δx) – f(x₀), получаем приближенную формулу:

f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + dy.                       (2.10)

Пример 2. Вычислить приближенно   .

Решение. Рассмотрим:

Используя формулу (2.10), получим: 

.

Значит,   ≈ 2,025. 

Рассмотрим геометрический смысл дифференциала df(x₀) (рис. 2.6).  Проведем к графику функции y = f(x) касательную в точке M₀(x0, f(x₀)), пусть φ – угол между касательной KM0 и осью Ox, тогда f'(x₀) = tgφ. Из ΔM0NP:  PN = tgφ×Δx = f '(x₀)×Δx = df(x₀). Но PN является приращением ординаты касательной при изменении x от x₀ до x₀ + Δx.

Следовательно, дифференциал функции f(x) в точке x₀ равен приращению ординаты касательной. 

Найдем дифференциал функции  y = x. Так как (x)' = 1, то dx = 1×Δx = Δx. Будем считать, что дифференциал независимой переменной x равен ее приращению, т.е. dx = Δx.

Если x – произвольное число, то из равенства (2.8) получаем df(x) = f '(x)dx, откуда  .  Таким образом, производная для функции y = f(x) равна отношению ее дифференциала к дифференциалу аргумента.

Рассмотрим свойства дифференциала функции. 

Если u(x), v(x) – дифференцируемые функции, то справедливы следующие формулы:

Для доказательства этих формул используются формулы производных для суммы, произведения и частного функции. Докажем, например, формулу (2.12):

d(u×v) = (u×v)'Δx = (u×v' + u'×v)Δx = u×v'Δx + u'Δx×v = u×dv + v×du.

Рассмотрим дифференциал сложной функции: y = f(x), x = φ(t), т.е. y = f(φ(t)).

Тогда dy = y'_tdt, но y'_t = y'_x×x'_t, поэтому dy =y'_xx'_t dt. Учитывая,

что x'_t= dx, получаем dy = y'_xdx =f '(x)dx.

Таким образом, дифференциал сложной функции y = f(x), где x =φ(t), имеет вид dy = f '(x)dx, такой же, как в том случае, когда x является независимой переменной. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала. 

ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная f'(x) также является функцией от x на этом промежутке. Если f '(x) имеет производную на промежутке X, то эта производная называется производной второго порядка функции y = f(x) и обозначается: y'' или f''(x).

Итак, f''(x) = ( f '(x))'. 

Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается: y''' или f '''(x).

Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной  (n – 1)-го порядка и обозначается: y⁽ⁿ⁾ или f ⁽ⁿ⁾(x). Итак, f⁽ⁿ⁾(x) = (f ^(n-1)(x))'. 

Производные y'', y''', ... называются производными высших порядков.

Пример 1.  . Найти f ''(x) и f ''(4). 

Решение. 

Пример 2. Найти производную n-го порядка для функции y = e^3x. 

Решение. y' = 3e^3x, y'' = 3× 3e^3x = 3²e^3x, y''' = 3³e^3x.

По аналогии находим: y⁽ⁿ⁾ = 3ⁿe^3x. 

Рассмотрим механический смысл второй производной.

Пусть путь S, пройденный телом по прямой за время t, выражается формулой S = f(t). Известно, что при этом скорость V в момент времени t равна производной от пути по времени: V =S '(t) . В момент времени t + Δt скорость получит приращение 

ΔV = V(t + Δt) – V(t).

Отношение  называется средним ускорением за время Δt. Ускорением a в данный момент времени называется предел среднего ускорения, когда Δt → 0:

Следовательно, ускорение при прямолинейном движении равно второй производной от пути по времени: a = S''(t).

Перейдем к рассмотрению дифференциалов высших порядков. 

Пусть y = f(x), x  X. Дифференциал этой функции y = f'(x)dx является функцией от x (если x – не фиксированное число), dx – приращение аргумента x, оно не зависит от x.

Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка и обозначается d²y или d²f(x). 

Итак, d²y = d(dy), но dy= dx, поэтому

d²y = d(f '(x) dx) = (f''(x) dx)dx = f''(x)(dx)².

Будем вместо (dx)² писать dx².

Дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от дифференциала второго порядка и обозначается d³y или d³f(x):

d³y = d(d²y) = d(f''(x) dx²) = f'''(x)dx³ и т.д.

Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала  (n – 1)-го порядка dⁿy = d(dⁿ – ¹y) = d(f ^{(n – 1)}(x)dx^{n – 1}) = f ⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ. 

Итак, dⁿy = f ⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ. Отсюда  .

Заметим, что выражение производной через отношение дифференциалов часто бывает удобно, поэтому оно широко используется. Так, вместо y'_x будем писать:   , вместо y'_t пишем:   .

Пример 3. Найти d3y для функции y = cos2x.  Решение. d³y = y'''dx³. Вычислим y''', находя последовательно y', y'', y''':

y' = (cos²x)' = –2cosxsinx = –sin2x, y'' = (–sin2x)' = –2cos2x, y''' = 4sin2x.

Следовательно, d³y = 4sin2xdx³.

Рассмотрим нахождение производных высших порядков для функций, заданных параметрически и неявно.

Пусть функция y, зависящая от x, задана параметрически уравнениями  (T – некоторый промежуток).  Найдем  (разд.2.6), поэтому  .  Аналогично будут вычисляться   и т.д. 

Пример 4. Функция y от x задана параметрически уравнениями: 

Найти  .  Решение. 

Нахождение производных высших порядков от функций, заданных неявно, рассмотрим на примере.

Пример 5. Найти   , для функции, заданной неявно уравнением:  e^y + xy = e. Вычислить y'(0), y''(0).  Решение. Найдем сначала y', как описано в разд. 2.5:  Для нахождения y'' будем дифференцировать равенство e^y×y' + y + xy' = 0, получим:  e^y×(y')² + e^y×y'' + y' + y' + xy'' = 0, отсюда найдем y'', затем подставим найденное значение y':  y''(e^y + x) = –e^y×(y')² – 2y',  Итак,   . Подставим x = 0 в исходное уравнение e^y + xy = e, получим: e^y + 0×y = e, откуда y = 1, значит, 

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ПРИ ПОМОЩИ ПРОИЗВОДНЫХ