Производные некоторых элементарных функций.

Пусть функция y = f (x) определена на некотором промежутке X, x₀  X и f(x) дифференцируема в точке x₀, т.е. производная  существует.

Для одной и той же функции f(x) производную можно вычислять в различных точках x, и ее значения будут зависеть от x, т.е. производная (x) будет функцией от x, ее называют производной функцией от функции f(x). Нахождение производной функции называют дифференцированием функции f(x).

Итак, производная функция от функции f(x) по определению:  Для того чтобы научиться дифференцировать функции, надо знать производные основных элементарных функций и правила дифференцирования. Выведем производные некоторых элементарных функций. 

f(x) = с – постоянное число.

Итак, (c)' = 0.

f(x) = x:  Получили: (x)' =1  Таким образом,  f(x) = sinx:

Значит, (sinx)' = cosx

Аналогично доказывается, что (cosx)' = –sinx.

Для дальнейшего изложения вычислим два вспомогательных предела, а именно: 

используя для этого второй замечательный предел и непрерывность функций log_ax и a^x.  Первый предел: 

Таким образом,  .

Для вычисления второго предела введем новую переменную: z = a^y – 1, тогда  a^y = z + 1, откуда y = log_a(z + 1). Если y → 0, то z → 0, следовательно,  7. f(x)=log_ax :  Значит,  В частности,  .  8. Убедимся, что (a^x)' = a^xlna:

При a = e, получаем: (e^x)' = e^x.

Производные для других элементарных функций мы вычислим в следующих разделах. 

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ

Дифференцирование функций, заданных неявно.

Пусть переменные x, y связаны между собой некоторым уравнением  F(x, y) = 0,                                                             (2.1)  причем y является функцией от x, тогда говорят, что функция y задана неявно уравнением (2.1).  Например, уравнение y³ – 5x² – 3x = 0 задает неявно функцию y, которую можно из этого уравнения выразить через x явно:   .  Уравнение x² + y² = a² неявно задает две функции:  .

Однако не всегда, функции, заданные неявно могут быть выражены явно через элементарные функции. Так, из уравнения y + x = 2siny, которое неявно задает функцию y, нельзя выразить y явно через элементарные функции.  Как найти y' для функции, заданной неявно, уравнением (2.1)? Для этого надо найти производные по x от обеих частей этого уравнения, помня, что y – функция от x и приравнять эти производные. Из полученного уравнения найти y'.  Например, найдем y' для функции, заданной неявно уравнением x² + y² = a²:  (x²+ y² )'_x = (a²)'_x , 2x + 2y×y' = 0,  отсюда y' = –x/y .  Применим этот метод для нахождения производной для показательно-степенной функции y = u(x)^v(x), где –  дифференцируемые функции.  Прологарифмируем равенство y = u^v, получим: lny = v×lnu. Дифференцируем полученное равенство:  , откуда   , подставляя сюда y = u^v,  имеем: y' = uv×lnu×v'+ v×uv–1×u'.  Этот прием нахождения производной называется логарифмическим дифференцированием.  Пример. y = x^sinx, (x > 0). Найти y'.  Решение.