5.Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Если   , где a(x) – б.м. при x → a.

Теорема 2. Если функцию f(x) можно представить в виде: f (x) = b + a(x), где b – число, a(x) – б.м. функция при x → a, то   .

Теорема 3. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, т.е. если 

Теорема 4. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, т.е. если   .  Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.   , где С – постоянное число.

Следствие 2. Если n – натуральное число, то   .

Теорема 5. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя при условии, что предел знаменателя не равен нулю. Иначе, если

Рассмотрим применение доказанных теорем при нахождении пределов.

Пример. Найти   .  Решение. Найдем сначала предел числителя и знаменателя. По свойствам пределов  . Аналогично,  Используя теорему 5, получим:  

Теорема 6. Если   существует и f(x) ≥ 0 для всех x из области определения функции, то    Теорема 7. Если   существуют, то

Теорема 8. (теорема о сжатой переменной). Если  и  существует и равен b. 

6.Первый замечательный предел

Рассмотрим функцию   , аргумент x (как всегда в математическом анализе) выражается в радианах. При x = 0 функция   не определена.  Теорема.   (первый замечательный предел).  .  С помощью этого предела находятся многие другие пределы, содержащие тригонометрические функции.

7.Второй замечательный предел

Рассмотрим возрастающую последовательность: a₁,a₂,...,an,... Для нее a_n+1>a_n для любого натурального n. Если эта последовательность не является ограниченной, то она не имеет предела, так как ее члены неограниченно возрастают. Если же возрастающая последовательность ограничена, то она имеет предел. Этот факт доказывается в полных курсах математического анализа [6], мы приведем лишь его полную формулировку.

Теорема 1 (достаточный признак существования предела последовательности)

Всякая возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел.

Теорема 2 (второй замечательный предел)  Существует предел   .

Последовательность   возрастает и ограничена сверху, по теореме 1 существует предел, этот предел называют неперовым числом и обозначают через e.

Итак, 

Так как 2 < a_n < 3, то 2 <  a_n ≤ 3, т.е. 2 < e ≤ 3. Это число e иррациональное и e ≈2,718282.

Число e широко используется как основание для показательной функции y=ex (экспонента) и как основание для логарифмов logex=lnx (натуральные логарифмы).

Рассмотрим (рис. 1.13) функцию   , которая не определена на отрезке [-1,0] (подумайте почему?). Ее область определения (–∞ , –1)U(0, +∞ ).  Известно, что   . Нетрудно показать, что    Все записанные пределы объединяются одним названием второго замечательного предела.

Рассмотрим применение второго замечательного предела для вычисления некоторых пределов.  Пример. Найти 

Решение. Обозначим:  . Если n→∞ , то m→∞ и мы получим: 

8.Сравнение бесконечно малых функций.Эквивалентные бесконечно малые функции.

Пусть a(x) и b(x) – б.м. функции при x → a (x→ + ∞, x → –∞, x → x0, ...). Рассмотрим предел их отношения при x → a.

1. Если   и b – конечное число, b ≠ 0, то функции α(x), β(x) называются бесконечно малыми одного порядка малости при x → a.

2. Если  , то α(x) называют бесконечно малой высшего порядка, чем β(x) при x → a. Очевидно, в этом случае  .

3. Если α(x) – б.м. высшего порядка, чем β(x), и   (b – конечное число, k   N), то α(x) называют бесконечно малой k-го порядка, по сравнению с β(x) при x → a.

4. Если не существует   (ни конечный, ни бесконечный), то α(x), β(x) называют несравнимыми б.м. при x →a.

5. Если  , то α(x), β(x) называются эквивалентными б.м. при x → a, что обозначается так: α(x) ~ β(x) при x → a.

Пример 1. α(x) = (1 – x)³, β(x) = 1 – x³.

Очевидно, что при x→1 функции α(x), β(x) являются б.м. Для их сравнения найдем предел их отношения при x →1:

Вывод: α(x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с β(x) при x → 1.

Нетрудно убедиться, что  (убедитесь!), откуда следует, что α(x) – б.м. 3-го порядка малости, по сравнению с β(x) при x → 1. 

Пример 2. Функции α₁(x) = 4x, α₂(x) = x², α₃(x) = sinx, α₄(x) = tgx являются бесконечно малыми при x→0. Сравним их:

Отсюда заключаем, что α2(x) = x2 – б.м. высшего порядка, по сравнению с α1(x) и α3(x) (при x → 0), α1(x) и α3(x) – б.м. одного порядка, α3(x) и α4(x) – эквивалентные б.м., т.е. sinx ~ tgx при x → 0.

Теорема 1. Пусть α(x) ~ α1(x), β(x) ~ b1(x) при x → a. Если существует   , то существует и   .  Эта теорема позволяет упрощать нахождение пределов.

Пример 3. Найти   .  В силу первого замечательного предела sin4x ~ 4x, tg3x ~ 3x при x→0, поэтому

Теорема 2. Бесконечно малые функции α(x) и β(x) эквивалентны (при x → a) тогда и только тогда, когда α(x) - β(x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с α(x) и β(x) (при x → a).

Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Пример 4. Найти   .

По теореме 3 при x →0: 4x + 2x³ ~ 4x , sin²x + 3tg5x + x³ ~ 3tg5x, тогда

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Пусть функция f(x) определена в точке x₀ и некоторой ее окрестности. Если существует   , то функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, а x₀ называется точкой непрерывности функции f(x).

На языке логики равенство  описывается формулой:  

Используя понятия односторонних пределов, можно перефразировать определение так: функция называется непрерывной в точкеx₀, если она определена в точке x₀ и некоторой ее окрестности, если существуют  и    Иногда приходится рассматривать непрерывность функции в точке x₀ справа или слева. Пусть функция определена в точке x₀ и некоторой ее левой полуокрестности.

Если   , то говорят, что f(x) непрерывна в точке x₀ слева. 

Аналогично определяется непрерывность справа.

Пример 1. Функция f(x) = x³ определена на R.

Покажем, что f(x) непрерывна в точке x0 = 2.  Действительно,  , значит, f(x) = x³ непрерывна в точке x₀ = 2. 

Пример 2.  .

Покажем, что f(x) непрерывна в точке x₀ = 0:

.  Так как   , то непрерывность функции f(x) в точке x₀ = 0 доказана.

Дадим определение точек разрыва. 

Пусть f(x) определена в окрестности точки x₀, но может быть не определена в x₀.  Точка x₀ называется точкой разрыва для функции f(x), если в точке x0 функция f(x) не определена, или не существует, или  .  Пример 3. Функция   не определена в точке x₀ = 0, но определена в любой окрестности этой точки, поэтому x₀ = 0 является точкой разрыва для f(x).  Пример 4. Функция   не определена в точке x₀ = 3, x₀ = 3 – точка разрыва для f(x).  Пример 5. Пусть E(x) = «целая часть числа x», т.е. E(x) равно наибольшему целому числу, не превосходящему x0. Так   и т.д. График y = E(x) представлен на рис. 1.14.

Для x₀ = 2: E(2) = 2,  .  Так как ,  то E(x) в точке x₀ = 2 имеет разрыв, как и в любой другой целочисленной точке. Различают точки разрыва первого рода и второго рода.  Точка разрыва x₀ для функции f(x) называется точкой разрыва первого рода, если существуют (конечные) пределы:  . В противном случае x₀ – точка разрыва второго рода. В примере 5 точка x₀ = 2 является точкой разрыва первого рода, так как   существуют пределы . В примере 4 x₀ = 3 – точка разрыва второго рода, так как   . 

Точка x₀ разрыва первого рода, для которой   , называется точкой устранимого разрыва. Такой является точка x₀ в примере

3. Если рассмотреть функцию   , то φ(x) непрерывна в точке x0 = 0, так как   . Доопределив функцию в точке x₀ = 0, мы устранили разрыв.

Рассмотрим операции над непрерывными функциями. 

Теорема 1. Если функции f₁(x) и f₂(x) непрерывны в точке x₀, то их сумма и произведение также непрерывны в точке x0. Если, кроме того, f₂(x₀) ≠0, то частное также непрерывно в точке x₀.  Теорема 2. Если функция u = φ(x) непрерывна в точке x0, а функция y = f(u) непрерывна в точке u0 = φ(x0), то сложная функция y = f(φ(x)) непрерывна в точке x₀.

Установим непрерывность некоторых элементарных функций:

1. Всякая постоянная функция y = C непрерывна в каждой точке x₀  R, так как  . 

2. Функция y = x непрерывна в любой точке x₀, так как   . Тогда функция y = Cxⁿ, где n   N, непрерывна на всей числовой оси, как произведение непрерывных функций.

3. Любой многочлен: y = a₀ + a₁x + a₂x² + ...+ a_nxⁿ, непрерывен в каждой точке числовой оси, как сумма непрерывных функций.

4. Всякая рациональная дробь, являющаяся отношением двух многочленов   , непрерывна во всех точках, в которых многочлен Q(x) не обращается в 0.

5. Функция y = sinx, y = cosx непрерывны в точке x₀ = 0, так как  Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Если функция f(x) непрерывна в каждой точке интервала (a, b), то говорят, что f(x) непрерывна на интервале (a, b).

Пример 6. Функция   непрерывна на интервалах (–∞, 3) и (3, +∞), так как при x0≠ 3:  .