3.Бесконечно-малые функции и их свойства

Функция a(х) называется бесконечно малой (сокращенно: б.м.) при    Используя определение предела фикции при х → +∞, можно перефразировать это определение: функция a(х) называется бесконечно малой при х → +∞, если для любого положительного числа e найдется такое число x₀что для всех х, больших x0, выполняется неравенство: |a(х)| < ε.

Символически это выглядит так:

Аналогично формулируются определения б.м. при х → +∞, х → x₀, и т.д.

Пример 1. Функция      является б.м. при х → +∞, и х → -∞, (см. разд. 1. "Пределы функции на бесконечности", пример 3).

Пример 2. Покажем, что  б.м. при х → +∞ .  Действительно, неравенство   выполняется для всех х, которые удовлетворяют неравенству , т.е.   

Докажем некоторые теоремы о б.м. функциях.

Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых функций (при х → a ) является б.м. функцией (при х → a ).

Пример 3. Функция     является б.м. при х →+∞, так как каждое слагаемое   является б.м. при х →+∞, (см. примеры 1, 2).

Для дальнейшего нам потребуется понятие ограниченности функции.

Функция f(x) называется ограниченной на некотором множестве М, если существует такое положительное число К, что для всех М выполняется неравенство:   . 

Пример 4. Функция sinx и cosx ограничены на множестве R всех действительных чисел, так как   .  Пример 5. Функция tgx не является ограниченной на интервале  , так как она может принимать любые значения при   .  Будем говорить, что функция f(x) ограничена при x→+∞ ( x→-∞), если она ограничена на некотором бесконечном интервале (x₀,+∞) (или ( -∞, x₀)). Аналогично, функцию f(x) называют ограниченной при x→x₀ (x→x₀-0, x→x₀+0 ), если она ограничена на некоторой окрестности (x₀-δ, x₀+δ) точки x₀ (на правой полуокрестности (x₀,x₀+δ ) или на левой полуокрестности ( x₀-δ, x₀) соответственно).

Теорема 2. Если существует   , то функция f(x) ограничена при х→а.

Следствие 1. Любая б.м. функция при х→а является ограниченной при х→а.

Теорема 3. Если существует  и он отличен от нуля, то ограничена  при х→а .

Теорема 4. Произведение б.м. функции (при х→а) на функцию, ограниченную (при х→а) является функцией б.м. (при х→а).

Следствие 2. Произведение функции б.м. при х→а на число является функцией б.м. при х→а.

Следствие 3. Произведение двух б.м. функций есть функция б.м. (при х→а).

Замечание. Если α1(х), α₂(х) – б.м. при х→а, то  может быть б.м. при х→а , а может и не быть. Так, для функций   , б.м. при х→+∞ , функция   не является б.м. при х→+∞ , а функция   является б.м. при х→+∞. 

4.Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями

Функция F(x) называется бесконечно большой (сокращенно б.б.) при x → +∞  (при x → -∞), если для любого положительного числа K существует число x₀, такое, что для всех x > x₀ выполняется неравенство: |F (x)| > K.

Функция F(x) называется бесконечно большой при x → x₀ (при x → x₀–0 или  x → x₀+0 ), если для любого K > 0 существует δ > 0 такое, что для любого    соответственно выполняется неравенство |F(x)| > K.

Очевидно, что всякая бесконечно большая функция не является ограниченной при  x → a, а потому   не существует. 

Если F (x) – б.б. функция при x → a, то говорят, что F (x) стремится к бесконечности и пишут:  Если при этом F (x) > 0, то пишут:  ; если же F(x) < 0, то пишут:   . 

Пример 1. F1(x) = x² является б.б. при x → +∞ и x → -∞, причем F1(x) > 0, поэтому можно записать:    Пример 2.   является б.б. при x → 0, причем 

Следующие две теоремы устанавливают связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Теорема 1. Если функция F(x) является б.б при x → a, то функция  – б.м. при x → a.

Теорема 2. Если a(x) – б.м. при x → a и a(x) ≠ 0, то   – б.б. при x → a.

Свойство 1. Если F1(x), F2(x) – б.б. при x → a, то функция F1(x), F2(x) – б.б. при x → a.

Свойство 2. Если F1(x), F2(x) – б.б. функции при x→a, причем F1(x) > 0 и  F2(x) > 0 (т.е.   ), то функция F1(x) + F2(x) – б.б. при x → a.

Свойство 3. Если F(x) – б.б. при x → a и число C≠ 0, то CF(x) – б.б. при x → a.

Замечание. Если F1(x) и F2(x) – б.б. функции при x → a, но имеют разные знаки, то F1(x) + F2(x) может быть как б.б., так и б.м. при x → a, как иметь предел при x → a, так и не иметь его.