Выпуклость, вогнутость графика и точки перегиба.

Пусть f(x) – функция, дифференцируемая на интервале (a, b). Рассмотрим кривую, являющуюся графиком функции y = f(x).  Кривая, заданная функцией y = f(x), называется выпуклой на интервале (a, b), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.  Кривая называется вогнутой на интервале (a, b), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.  Точка кривой M₀(x₀, f(x₀)), отделяющая выпуклую ее часть от вогнутой, называется точкой перегиба.  Кривая y = f(x) (рис. 2.14) является выпуклой на интервалах (–2; –1,5) и (0; 1,5), вогнутой на интервалах (–1,5; 0) и (1,5; 2). Точки M₁(–1,5; f(–1,5)), O(0, 0),  M₂(1,5; f(1,5)) – точки перегиба.

Теорема 1. (Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции).  Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, т.е. f''(x) < 0, то кривая y = f(x) на этом интервале выпукла.  Если во всех точках интервала (a, b): (x) > 0, то кривая y = f(x) на этом интервале вогнута. 

Теорема 2 (достаточное условие точки перегиба)  Пусть кривая является графиком функции y = f(x). Если f''(x0) = 0 или f''(x0) не существует и при переходе через x0 вторая производная f''(x) меняет свой знак, то точка M0(x0, f(x0)) этой кривой является точкой перегиба. 

Пример. Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба график функции y = x2e–x (см. разд. 2.13). 

Решение  f(x) = x²e^–x, f'(x) = 2xe^–x – x²e^–x, f''(x) =  = 2e^–x – 2xe^–x – 2xe^–x + x²e^–x = e^–x(2 – 4x + x²).  Найдем значения x, при которых (x) = 0 и интервалы знакопостоянства второй производной f''(x):  f''(x) = 0, e^-x(2 - 4x + x²) = 0,  Корни этого уравнения:  .  Значения функции f (x) в точках x₁, x₂:  y₁ = f(x₁) ≈ 0,34 и y₂ = f(x₂) ≈ 0,38.  Результаты исследования занесем в таблицу:  Построим график функции y = x²e^–x рис. (2.16) с учетом исследования примера 1 (разд.2.13) 

Асимптоты.

При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а, значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки в бесконечность). При этом важным случаем является тот, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Асимптотой графика функции y = f(x) называется такая прямая, что расстояние от переменной точки M на графике до этой прямой стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность (рис. 2.17, 2.18).

С примерами асимптот мы встречались при изучении пределов функции (глава 1). Напомним, что если   , то прямая y = b является асимптотой графика y = f(x) (при x → +∞), эта асимптота параллельна оси Ox и называется горизонтальной асимптотой (см. рис. 2.18). Аналогично, прямая y = b является асимптотой графика y = f(x) при x → -∞, если   (рис. 2.17).  Рассмотрим асимптоты, параллельные оси Oy. Они называются вертикальными асимптотами.  Пусть для функции f (x):   , тогда из определения асимптоты следует, что прямая x = x₀ - асимптота. Очевидно и обратное, если прямая x = x₀ является асимптотой, то хотя бы один из пределов,  , является бесконечным (см. рис. 2.19, 2.20).  Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот нужно найти такие значения x₀, односторонние пределы в которых равны бесконечности. 

Пример 1. Найти вертикальные асимптоты для графика функции   . 

Решение. Функция   определена и непрерывна во всех точках числовой оси, за исключением точки x₀ = 2, в которой функция терпит разрыв,   . Следовательно, прямая x = 2 является вертикальной асимптотой для графика , следовательно, прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой при x → +∞ и при x → -∞ (см. рис. 2.21).  Рассмотрим асимптоты, которые не параллельны оси Oy, будем называть их наклонными асимптотами. Пусть график функции y = f(x) имеет наклонную асимптоту при x ® +¥, тогда ее уравнение имеет вид y = kx + b. Определим числа k и b.  Опустим из точки M(x, f(x)) графика функции перпендикуляр MN на асимптоту (см. рис. 2.22). Из определения асимптоты следует, что при x → +∞ длина MN → 0   . Из ΔMNK имеем  , где a – угол наклона асимптоты к оси Ox, поэтому cosa –постоянная величина. Значит,   Так как MK = |AK – AM|, AK = kx + b, то MK = |kx + b – f(x)|, следовательно,  Итак, если прямая y = kx + b является асимптотой графика функции y = f (x), то выполняется равенство (2.31) и наоборот, если при постоянных числах k, b выполняется равенство (2.31), то прямая y = kx + b является асимптотой. Из равенства (2.31), разделив бесконечно малую функцию (f(x) – kx – b) на x (а x → +∞), получим:  отсюда угловой коэффициент асимптоты:  Определим коэффициент b из равенства (2.31), подставив в это равенство значение k:  Итак, если прямая y = kx + b является асимптотой графика y = f(x), то k, b находятся по формулам (2.33), (2.34). Обратно, если существуют пределы (2.33), (2.34), то прямая y = kx + b есть асимптота. Если хотя бы один из пределов (2.33), (2.34) не существует, то при x → +∞ кривая не имеет асимптоты.

Аналогично решается вопрос об асимптотах при x → -∞. Заметим, что отдельно находить горизонтальные асимптоты нет надобности, они будут найдены при нахождении наклонных асимптот (при k = 0). 

Пример 2. Найти асимптоты линии y = e^x – x. 

Решение. Функция f (x) = e^x – x определена, непрерывна на бесконечном интервале (–∞, +∞), поэтому вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты, для этого вычислим пределы (2.33), (2.34) при x →+∞, x → -∞:  ,  так как   (проверьте это по правилу Лопиталя). Отсюда следует, что при x →+∞ наклонных асимптот нет:  ,  отсюда k = –1. Далее,   , значит, b = 0.  Итак, прямая y = –x есть наклонная асимптота при x → -∞ для графика функции y = e^x – x.