Возрастание и убывание функций.

Теорема 1. (Достаточное условие возрастания функции)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), причем f '(x) > 0 для любого x (a, b), то эта функция возрастает на отрезке [a, b]. 

Теорема 2. (Необходимое условие возрастания функции)  Если функция f(x) непрерывна и возрастает на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b), то f'(x) ≥ 0 для любого x из интервала (a, b). 

Аналогичные теоремы справедливы для убывающей функции, только условие  f'(x) > 0 заменяется на условие: f'(x) < 0.

Сформулируйте и докажите достаточное условие и необходимое условие для убывания функции. 

Пример. Исследовать на монотонность (т.е. возрастание и убывание) функцию: f (x) = x³ – 3x.  Решение.f' (x) = 3x² – 3 = 3(x² – 1).  Неравенство f'(x) > 0, т.е. 3(x² – 1) > 0, справедливо для x < –1 и для x >1. Следовательно, функция f(x) возрастает на интервалах (–∞, –1) и (1, +∞). Поскольку неравенство f'(x) < 0, т.е. 3(x² – 1) < 0 справедливо для x  (–1, 1), то на интервале (–1, 1) функция f(x) убывает.

Построим график функции y = x³ – 3x (рис. 2.10), используя ее значения в точках: 

Заметим, что в точке x₁ = –1 значение f(–1) больше, чем значение f(x) в соседних с x₁ точках. Говорят, что в точке x₁ функция имеет максимум (локальный максимум). Аналогично, f(x₂) < f(x) для x, близких к x₂. В этом случае говорят, что в точках x₂ функция имеет минимум (локальный минимум). 

Экстремумы функции.

Дадим точные определения точкам максимума и минимума функции. Пусть функция f(x) определена на промежутке X и x₀  X. 

Говорят, что в точке x₀ функция f(x) имеет максимум, если существует такая окрестность точки x₀, что для любого x из этой окрестности f(x) < f(x₀).  Точка x₀ называется точкой минимума, если существует такая окрестность точки x₀, что для любого x из этой окрестности f(x) > f(x₀).  Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Замечание. Точки экстремума всегда являются внутренними точками промежутка, т.е. не могут быть его концом.

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума) 

Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀ и некоторой ее окрестности и  x₀ – точка экстремума, то f '(x₀) = 0.

Следствие. Если x₀ – точка экстремума, то f '(x₀) = 0 или (x₀) не существует. 

В качестве примера приведем функцию f(x) = |x| (рис. 2.11).

Очевидно, что x₀ = 0 является точкой минимума, так как |0| < |x| для любого x ≠ 0. А в точке x₀ = 0 производной f '(0) не существует.

Если f '(x₀) = 0 или f '(x₀) не существует, то точку x₀ будем называть критической (или подозрительной на экстремум). Критическая точка может и не быть точкой экстремума.

Теорема 2. (Первое достаточное условие экстремума) 

Пусть функция f (x) определена и непрерывна в точке x₀ и некоторой ее окрестности, дифференцируема в этой окрестности, за исключением, может быть, точки x₀, и x₀ – критическая точка для функции f (x) (т.е. f '(x₀) = 0 или f '(x₀) не существует). Тогда: 1) если при x < x₀ производная f '(x) > 0, а для x > x₀: f '(x) < 0, то x₀ – точка максимума; 2) если при x < x₀: f '(x) < 0, а при x > x₀:f ' (x) > 0, то x₀ – точка минимума.

Теорема 3. (Второе достаточное условие экстремума). 

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема в точке x₀ и некоторой ее окрестности и пусть f '(x₀) = 0. Если f ''(x₀) > 0, то x0 – точка минимума. Если f ''(x₀) < 0, то x₀ – точка максимума. 

При исследовании функции на монотонность и экстремумы бывает удобно результаты заносить в таблицу. Как это делается, покажем в следующем примере. 

Пример 1. Исследовать на монотонность и экстремумы функцию f(x) = x²e^–x. Построить ее график. 

Решение. Эта функция определена и непрерывна на всей числовой оси (–∞, ∞). Найдем производную:  f '(x) = 2xe^–x – x²e^–x = xe^–x(2 – x). Тогда f '(x) = 0 при x₁ = 0 и x₂ = 2, где x₁, x₂ – критические точки. Эти точки разбивают всю числовую ось на три интервала: (–∞; 0), (0; 2), (2; +∞). Составим таблицу, в первой строке которой поместим указанные точки и интервалы, во второй строчке – сведения о производной (x) в точках и на интервалах, а в третьей – поведение данной функции f(x):  Определим знак (x) на каждом из интервалов: если x (–∞, 0), то f '(x) < 0; если x (0, 2), то f '(x)>0; если x (2, +∞), то f '(x) < 0. Отсюда определяется поведение функции f(x): на первом и последнем интервалах f(x) убывает, а на втором – возрастает. Отсюда следует, что x₁ = 0 является точкой минимума, yмин(0) = 0, а x₂ = 2 – точка максимума,   . Для построения графика заметим, что f (x) > 0 для всех x, отличных от нуля, и    x²e^–x = 0,  x²e^–x = ¥, f(–1) = e » 2,7.  График этой функции изображен на рис. 2.12. 

Отметим, что дальнейшее исследование этой функции (см. следующий раздел) позволит уточнить ее график. 

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию   .  Решение. Область определения функции   , в каждом из этих интервалов функция непрерывна. Найдем   . Теперь найдем критические точки функции, для этого решим уравнение f'(x) = 0:  , отсюда x₁ = –2, x₂ = +2 – критические точки. Используем теорему 3 для исследования критических точек, для этого вычислим f''(x) в точках x₁ и x₂. Так как   , то x₁ = –2 является точкой максимума   . Для x₂:  , поэтому x₂ = 2 – точка минимума,  .  Таким образом, функция   имеет максимум при x₁ = –2, f(–2) = –4 и имеет минимум при x₂ = 2, f(2) = 4. 

Известно, что если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения и своего наибольшего значения (см. гл. 1). Иногда требуется найти наименьшее или наибольшее значение такой функции. 

Если на отрезке [a, b] есть точки минимума и максимума функции f(x) (рис. 2.13), то наименьшее значение функция будет принимать либо в одной из точек минимума, либо на конце отрезка [a, b]. Аналогично для наибольшего значения. 

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке:  • найти критические точки x₁, x₂, ..., x_n функции f(x), принадлежащие отрезку ;  • вычислить значения функции f (x) в критических точках и на концах отрезка;  • из этих значений выбрать самое большое и самое малое, эти числа и будут наибольшим и наименьшим значениями f(x) на отрезке [a, b]. 

Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции: 

f(x) = x⁴ – 2x² + 5 на отрезке [–2, 2].

Решение. Найдем критические точки для данной функции: 

f ' (x) = 4x³ – 4x = 4x(x² – 1);  f'(x) = 0 при x₁ = 0, x₂ = –1, x₃ = +1, все три критические точки принадлежат данному отрезку. Вычислим значения функции в точках –2, –1, 0, 1, 2:  f(–2) = (–2)⁴ – 2×(–2)² + 5 = 16 – 8 + 5 = 13, f(–1) = 1 – 2 + 5 = 4, f(0) = 5, f(1) = 4, f(2) =13. 

Из найденных значений самое малое число 4, а самое большое число 13.  Итак, наименьшее значение функции равно 4, наибольшее значение равно 13.