Формула Тейлора.
Формула Тейлора является одной из важнейших формул математического анализа, она имеет очень большое число теоретических и практических применений.
Рассмотрим предварительно следующую задачу: данный многочлен Pn(x) степени n разложить по степеням разности (x – x0) (где x0 – некоторое число), т.е. представить Pn(x) в виде:
Pn(x) = a0+ a1(x – x0) + a2(x – x0)2+...+ an(x – x0)n. (2.19)
Вычислим коэффициенты: a0, a1, ..., an. Для этого найдем сначала производные от Pn(x):
P'n(x) = a1+ 2a2(x – x0) + 3a3(x – x0)2 + ... + n×an(x – x0)n–1; P''n(x) = 2a2+ 2×3a3(x – x0) + 3×4a4(x – x0)2+ ... + (n – 1) ×n×an(x – x0)n–2; P'''n(x) = 2×3×a3+ 2×3×4a4(x – x0) + ... + (n – 2)(n – 1)×n×an(x – x0)n–3; ...; Pn(n)(x) = 1×2×...× (n – 1)×n×an; Pn(n+1)(x) = 0. (2.20)
Полагая в равенствах (2.19), (2.20) x = x0, получим:
Pn(x0)
= a0,
(x0)
= a1,
(x0)
= 2a2,
Pn(n)(x0)
= 2×3a3,
..., Pn(n)(x0)
= 1×2×...(n – 1)×n×an,
откуда
находим:
.
Подставляя
найденные значения a0,
a1,
..., an в
равенство (2.19), получим разложение
многочлена Pn(x)
по степеням (x – x0):
Формула
(2.21) называется формулой
Тейлора для
многочлена Pn(x)
n-й степени.
Пусть функция f(x) имеет производные до (n + 1)-го порядка включительно в некотором промежутке, и число x0 принадлежит этому промежутку.
Поставим задачу: найти многочлен n-й степени Pn(x), такой, чтобы значение Pn(x0) совпадало с f(x0), а значение всех производных для Pn(x) в точке x0 (до n-го порядка) совпадало со значениями соответствующих производных для f(x) в точке x0, т.е. Pn(x0) = f(x0), P'n(x0) = f '(x0), P''n(x0) = f'' (x0), ..., Pn(n)(x0) = f (n)(x0).
Тогда
по формуле (3) многочлен Pn(x)
имеет вид: 
Естественно
ожидать, что многочлен Pn(x)
будет в некотором смысле «близок» к
функции f(x), по крайней мере, около точки
x0.
Обозначим:
Rn(x)
= f (x) – Pn(x),
тогда f (x) = Pn(x)
+ Rn(x).
Подставляя вместо Pn(x)
его выражение (2.22), получим формулу:
которая
называется формулой
Тейлора для
функции f(x), а Rn(x)
называется остаточным
членом.
Если
для некоторого x остаточный член Rn(x)
достаточно мал, то формула (2.23) дает
приближенное значение для f(x): f(x) » Pn(x),
при этом погрешность этого приближения
равна: Rn(x).
Для оценки Rn(x)
применяются специальные формулы, одна
из них называетсяформой
Лагранжа и
имеет вид: 
где
c – некоторое число, заключенное между
x0 и
x. Число c можно представить в виде:
c
= x0 +
θ(x – x0),
где θ – некоторое число, заключенное
между 0 и 1, т.е. 0
Другая
формула для Rn(x)
называется формой
Коши и
имеет вид:
где
θ удовлетворяет неравенству 0
Вообще говоря, значения θ в формулах (2.25) и (2.26) различные.
Заметим, что если в формулах Тейлора (2.23) положить n = 0 и остаточный член записать в форме Лагранжа (2.24), то получим формулу: f(x) = f(x0) + f '(c)(x – x0), откуда приходим к формуле Лагранжа: f(x) – f(x0) = f '(c)(x – x0). Таким образом, формула Тейлора является обобщением формулы Лагранжа (конечных приращений).
Если
в формуле Тейлора (2.23) положить x0 =
0, то получится формула, называемая формулой
Маклорена: 
где 
–
остаточный член в форме Лагранжа (0
Рассмотрим применение формулы Тейлора. Найдем разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора, причем возьмем x0 = 0 (т.е. найдем формулы Маклорена для этих функций).
1) f(x) = ex
Так
как f '(x) = ex,
f '' (x) = ex,
..., f (n)(x) = ex и
f(0) = 1, f '(0) = 1, f ''(0) =1, ...,
f (n)(0)
= 1, то по формуле (2.27) получаем:
Если
|x| ≤ 1, то при n = 8 получаем:
.
Пример 1. Вычислить приближенно число e и оценить погрешность.
Решение.
Ранее нами было введено число e как
предел последовательности:
и
установлено, что 2 < e < 3. Используя
формулу (2.28), положив x = 1,
n = 8
имеем:
,
причем погрешность R8(1)
не превосходит 0,00001.
2) f (x) = sinx
Найдем производные до (n + 1)-го порядка для f(x) = sinx и их значения при x= 0:
Если
n = 2m, m
N,
то f (2m)(0)
= 0; при n = 2m + 1: f (2m+1)(0)
= (–1)m,
поэтому
3)
Аналогично для функции f(x) = cosx можно
получить следующую формулу Маклорена:
В
последних двух разложениях
и
потому Rn(x)
по абсолютной величине не превосходит 
Пример 2. Вычислить приближенно sin200 с точностью до 0,0001.
Решение.
Воспользуемся формулой (2.29), положив 
радиан
и взяв 2 члена разложения: 
Задания для
самостоятельной работы.
Вывести формулу Маклорена для функции f (x) = cosx (формулу (2.30)). Вывести формулу Маклорена для функции f (x) = ln(1+ x). Вычислить приближенно cos400 и оценить погрешность вычисления, взяв два слагаемых в формуле (2.30).